Kettenregel Ableitung
Ableitungen mit Kettenregel
Die Ableitung einer Funktion mit der Kettenregel ist eine häufig benötigte Ableitungsregel, wenn es in der Differenzialrechnung darum geht, die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, bei der eine Verkettung von zwei oder mehr Funktionen vorliegt.
Nachdem Du alle Videos in diesem Beitrag angeschaut und mitgerechnet hast...
Die Struktur oder das Ableitungsgerüst:
1. Erkennen: Es gibt eine Funktion, die aus einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion besteht.
2. Die Ableitung: besteht dann in der Regel, zuerst die äußere der beiden Funktionen abzuleiten und die innere in der äußeren zu lassen und das ganze noch mal mit der Ableitung der inneren zu multiplizieren.
Inhaltsverzeichnis
- Grundlagen zur Ableitung mit Beispielen
- Herleitung der Ableitung
- Mehrfache Verkettung in der Ableitung einer Funktion
- Kombination mit anderen Regeln
- Anwendung in Aufgaben
Grundlagen und Beispiele
Zuerst einmal: Was bedeutet eigentlich Verkettung von Funktionen?
Man kann zwei Funktionen auf zwei Weisen verketten.
Zwei Beispiele:
Verkettung 1: f verkettet mit g mit f(x)=e^x und g(x)=3x+3 bedeutet f(g(x)), also soll man die Funktion g an die Stelle in f einsetzen, an der ein x im Funktionsterm steht:
f(g(x))=e^(3x+3)
Es geht auch umgekehrt, also g verkettet mit f, dann sieht da ganze so aus:
Verkettung 2: g(f(x)=3*(e^x)+3
In den ersten Videos zur Ableitung mit dieser Regel wird die Struktur gezeigt.
Wann wendet man die Regel an?
Also wie erkennt man, dass eine Verkettung vorliegt, wie muss die Funktion aus sehen, damit die Ableitung der Funktion mit ihr bestimmt werden kann?
Zum merken: Ableitung äußere Funktion mal Ableitung innere Funktion
Herleitung Kettenregel
Die Herleitung der Kettenregel ist etwas, was in den meisten Fällen nicht in Klausuren abgefragt wird. Aber anschauen kann man sich die Herleitung mit dem Differenzenquotienten trotzdem.
Mehrfache Verkettung in einer Ableitung
Wenn man die Berechnung dann an einer Funktion anwenden kann, die einmal verkettet sind, dann besteht die nächste Herausforderung darin, die Ableitung einer Funktion zu bilden, die doppelt oder dreifach verkettet sind.
Kombinierte Ableitungen
Ging es bei der Ableitung von mehrfach verketteten Funktionen um eine Kombination aus zwei Kettenregeln, werden in den Videos des nächsten Abschnitts weitere Kombinationen gezeigt. Wenn man das drauf hat, kann einem zum Thema Ableitung von komplizierten Funktionen nicht mehr viel vorgemacht werden.
Die Kettenregel kann auftauchen als
- Teil einer Produktregel der eine Faktor, zum Beispiel v(x) hat eine innere und eine äußere Funktion und v'(x) muss mit der Kettenregel bestimmt werden.
- Teil einer Quotientenregel zum Beispiel als Funktion im Zähler und besonders häufig als Funktion im Nenner bei der zweiten Ableitung
Auch die anderen Ableitungsregeln des Ableitens wie Potenzregel und Summenregel können auch als innere Funktion der Funktion auf tauchen. Aber die erkennt man meist leichter.
Bei diesen kombinierten Regeln kommt es also immer darauf an, die Struktur der Funktion genau zu analysieren.
Die Anwendung der Kettenregel ...
... findet man am häufigsten als Teil einer Kurvendiskussion, wenn zum Beispiel Extrema oder Wendepunkte einer Funktion berechnet werden. Oft findet man das Teil auch in der zweiten Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion:
Die Kettenregel ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion .
Liste mit Videos zur Kettenregel
Inhaltsverzeichnis der Videos zur Kettenregel
- Videos zum Einstieg mit Grundlagen und Standardaufgaben für Klausuren
- Videos zur Herleitung der Kettenregel
- Mehrfache Verkettung in einer Funktion
- Kombinationen mit anderen Regeln
- Anwendung Beispiele
Videos zum Einstieg mit Grundlagen und Standardaufgaben für Klausuren
- Kettenregel Video
- Anwendung auf eine e-Funktion
- Kettenregel versus ausmultiplizieren
- Anwendung bei Sinus- und Kosinusfunktionen
Videos zur Herleitung der Kettenregel
- Herleitung der Kettenregel
Zweifache und Dreifache Verkettung in einer Funktion
Kombinationen mit anderen Ableitungsregeln
- Ableitung ln-Funktionsschar Produkt- und Kettenregel
- ln(x)^2 mit unterschiedlichen Regeln
- e-funktion ableiten Produkt- und Kettenregel
- Kombinierte Regeln: Produkt und Kettenregel
- Ableitungsregel spezial: Produkt- in Kettenregel
- Produktregel mit zwei Kettenregeln kombinierte Ableitung
- sin(x) mal Wurzel (3x) ableiten
- Kettenregel Produkt- und Quotientenregel auf einmal
- Quotient in innerer Funktion
- Kettenquotient
Anwendung Beispiele
- Ableitungen und Hochpunktsberechnung e-Funktion
- Erste und zweite Ableitung gebrochenrationale Funktion
Alle Ableitungen inklusive Faktorregel, Potenzregel, Summenregel in einer Übersicht.
Beispiele für Verkettungen von Funktionen
f(x)=e^2x, innere: 2x, äußere: e^x
f(x)=sin(x²+2), innere: x²+2, äußere sin(x)
f(x)=Wurzel(3x+7), innere: 3x+7, äußere: Wurzel(x)
f(x)=ln(kx+2), innere: kx+2, äußere: ln(x)
f(x)=(4x-5)^8, innen: 4x-5, äußere: x^8
Die Ableitung der oben stehenden Funktionen kannst Du als Übung machen.
Mancher macht das gern nach diesem Schema:
als erstes werden innere und äußere Funktionen hingeschrieben und einzeln abgeleitet und dann werden die entsprechenden Funktionen in das Ableitungsgerüst eingesetzt.
Beispiel:
f(x)=e^3x
u(x)=e^x, u'(x)=e^x
v(x)=3x, v'(x)=3
f'(x)=u'(v)v'
=e^(3x)3 =3e^3x
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