ABI 3A Vektoren e Volumen Pyramide Dreieck Fläche
am 17. April 2008 veröffentlicht. Kommentare (50)
Das Volumen der Pyramide ABCS soll bestimmt werden. Diese Abituraufgabe aus Berlin aus dem Jahre 2007 ist eine Beispielaufgabe aus dem Gebiet Vektoren ;) :
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und hier die einfacherer Version mit dem Spatprodukt: Hinweis von Anna: Der Pfeil bei dem Vektor zwischen Punkt A und S müsste in die andere Richtung zeigen, damit es Vektor SA. Für das Ergebnis und die Rechnung hat das wegen der Betragsstriche aber keinen Einfluss, deshalb lasse ich das Video drin...
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Olaf ist bei Google+, folge ihm! :)
50 Kommentare
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Hi Marleen,
danke für Deine Rückmeldung - drück die Daumen für die Vermarktung ;)
LG
OLaf
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Eine weitaus schnellere Lösung erhält man mit dem Spatprodukt A=|1/6(ABxAC)*OS
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Hey Marq,
da hast Du recht und das wird auf sicher hier noch eingefügt - danke für den Hinweis
LG
OLaf
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Hey Olaf, danke für die Hilfe.
Mir ist nich klar, wie du auf die Ebenenform gekommen bist..
Wenn du das noch erläutern würdest wäre ich vollkommen zufrieden :)LG Ridvan
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Hi Ridvan,
das dazu gehörige Video findest Du hier: http://www.oberprima.com/index.php/abiturklausur-3a-vektorrechnung-ebene-aus-drei-punkten-in-normalenform/nachhilfe
LG
OLaf
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Hallo,
ich finde die seite mehr als gelungen, echt super und besser als die langweiligen und komischen versuche unserer lehrer.
aber leider seid ihr nur auf mathe spezialisiert :( wäre schon cool wenn ihr das ganze mal erweitern würdet und ich bsp geschichte auf oberprima lernen könnte....
lg
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HI Nino,
vielen Dank erst mal für Deinen Kommentar - wenn ich jemanden kennen lerne, die oder der das für Geschichte machen kann, dann werde ich das verlinken unter "Andere Fächer" http://www.oberprima.com/index.php/andere-faecher/
LG
OLaf
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Sam Hawkens ;)
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hallo! ich wundere mich warum der normalenvektor aus a) nicht
-80
vektor n= -50
-80
lautet...
beim kreuzprodukt komme ich zur zwischenrechnung für X2: (-6x5-4x5) das müsste ja dann für X2=-50 sein oder hab ich irgendeinen fehler gemacht?
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kann man nicht richtig lesen... bei mir is für den normalenvektor
-80
-50
-80
herausgekommen, anstatt
-80
-40
-80
Woran liegts?
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hi!
wollte dich fragen warum du nun bei der grundfläche 1/2*g*h rechnest? ist das so eine feste formel?
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Hi aref,
jupp, 1/2*g*h ist die Flächenformel eines allgemeinen Dreiecks.
LG
OLaf
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Hallo.
Ich bekomme für den Normalenvektor (-2/-1/2) heraus. Wieso steht in deiner Normalenform dieser Vektor mit umgedrehten Vorzeichen?
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Ich habe eine kurze Frage bezüglich des Volumens einer Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche.
In meinem Mathebuch steht dort, dass das Volumen mit der Formel 1/6*|(a*b)*c| ausgerechnet werden kann. Ist diese Formel auch für eine solche Pyramide gültig? Und Warum rechnet man hier mit 1/3 und nicht mit 1/6?Vielen Dank für die Hilfe!
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hey !
ich versteh nicht, wieso die seiten der grundfläche g und h sind. weil h ja eigentlich senkrecht auf g steht bei einem gleichschenkligen dreieck, oder?dann muss man h theoretisch ja neu berechnen?
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achso h ist ja senkrecht auf g, aber dann ist doch die rechnung oben mit 1/2*g*h dann der flächeninhalt der doppelten grundfläche, oder?
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Hi Sandra,
ich habe den Vektor mit -1 mal genommen, damit ich weniger Minuszeichen schreiben musste und das Rechnen danach einfacher wird. Wichtig beim Normalenvektor ist ja nur, dass er senkrecht auf der Ebene steht.
Du kannst aber auch mit Deinem Vektor weiterrechnen und kommst auf dieselben Ergebnisse...
LG
OLaf
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Hi Jan,
zum Spatprodukt mache ich gleich mal ein Video. In dem Video oben rechne ich ja mit der Formel für die Pyramide, wie man sie in der Mittelstufe benutzt.
Die Formel dafür ist 1/3*Grundfläche*Höhe(Pyramide).
Die Grundfläche ist ja 1/2*Grundseite*Höhe(Dreieck) und wenn ich das zusammensetze, wird auch oben mit 1/6 gerechnet, nämlich
1/3*1/2*Grundseite*Höhe(Dreieck)*Höhe(Pyramide ud 1/3*1/2 ist 1/6)
LG
OLaf
P.S.: Das neue Video werde ich nachher noch hier einbauen...
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Hi Sarah,
1/2*g*h ist die Flächenformel für ein Dreieck.
In diesem Fall ist die Grundfläche der Pyramide ein solches rechtwinkliges Dreieck.
Die Höhe des Dreieck ist jetzt eine der beiden rechtwinkligen Seiten des Dreiecks, weil die Höhe senkrecht steht.
Die Grundfläche wird dann in die Pyramidenformel:
V=1/3*Grundfläche*Höhe eingesetzt.
Hoffe, das hilft Dir weiter, aber nachher kommt auch noch eine einfachere Version zur Lösung dieser Aufgabe...
LG
OLaf
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ich hab eine frage zum 2ten video!
muss nich wurzel aus (-160²-160²-160²) gerechnet werden, sodass ein ergebnis von 46.18ve rauskommt oder bin ich da auf dem völlig falschen weg?
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Hi Chris,
welche Formel hast Du denn da angewendet, bzw. wie kommst Du auf die -160²?
LG
OLaf
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wir haben mit unserem lehrer eine aufgabe gerechnet:
|AB x AD| = also kreuzprodukt
2
=( 4 ) x
3
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wir haben eine übungsaufgabe in der schule gemacht mit dem lehrer
dort haben wir dann das volumen ausrechnen sollen
vektor AB ist (2/4/3) und vektor AD ist (-1/-2/1)
=> |AB x AD|
=> vektor |(10/-5/0)| = Wurzel aus (10²+-5²+0²)
=> ergebnis wurzel 5 = 11.18 cm³
oder ist das völlig falsch?
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Hi Chris,
jetzt weiß ich, was Du meinst...
Nach dem Kreuzprodukt kommt ja noch das Skalarprodukt und dann "greifen" erst die Betragsstriche (daher Deine Quadrate und die Wurzel... ;)) also erst kommt das Skalarprodukt und dabei kommt halt ne Zahl raus nämlich -480, dann kommen die Betragsstriche und das Minus geht zum Deubel ;) und dann wird *1/6 gerechnet.
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
P.S.: Hatte Deinen letzten Kommentar noch nicht gelesen. Bei der Aufgabe die Du da schilderst, geht es ja nur um den Betrag des Vektorprodukts - das ist die Fläche des Parallelogramms - und da ist das alles richtig so!
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ah verstehe danke,
sollte wohl doch lieber das ganze viedeo anschauen nicht nur den letzten teil
danke sehr =D
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Hey Olaf, ein großes Lob an deine page hier! Die ist echt megaspitze und ich wette Deutschlands Pisa-Schnitt steigt bestimmt wegen dieser absolut tollen Page!! :D
Kannst du mir nur noch sagen wie du beim 1. Video
@4:50 sec auf (2 1 -1) kommst? oO
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Hi,
das kommt aus der vorangegangenen Aufgabenstellung: http://www.oberprima.com/index.php/abiturklausur-3a-vektorrechnung-ebene-aus-drei-punkten-in-normalenform/nachhilfe
LG
OLaf
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Hi Olaf,
ich habe die Aufgabe im zweiten Video nachgerechnet
mit SA,SB und SC.Dabei bekam ich als Kreuzprodukt
(-48 0 -48)heraus.Mit c multipliziert kam ich auf folgenden Wert d=1/6*|-381|.Dementsprechend kam bei mir 63,5 raus.Könntest du mir weiterhelfen?MfG
Nick
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Hej Nick,
da wäre es toll, wenn Du mir einmal schreibst, was Du gerechnet hast, um auf Deine Ergebnisse zu kommen - sonst ist es schwer, darauf einzugehen...
LG
OLaf
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Hi Olaf,
danke aber ich habe den Fehler bereits gefunden.
Die Konzentration hat bei mir wohl irgendwann nachgelassen ;)Lg
Nick
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Hej Nick,
dann ist es ja sogar noch besser ;)
LG
OLaf
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Warum muss beim Spatprodukt für 'Vektor C'
'Vektor SA' (Meiner Meinung nach müsste es 'Vektor AS' sein) eingesetzt werden?Der Pfeil in deiner Abbildung geht doch von A nach S und nicht umgekehrt..
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Hey Anna,
da hast Du formal absolut Recht - da habe ich beim Aufschreiben der Vektoren am Anfang einen Dreher drin gehabt. Das werde ich auf jeden Fall über dem Video erwähnen - vielen Dank für Deinen Hinweis.
Allerdings hat das in dieser Aufgabenstellung absolut keinen Einfluss auf das Ergebnis, weil ja um axb *c je Betragsstriche stehen.
LG
OLaf
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Hey ich danke Dir viel mals für das Vidio, es hat mir voll beim volumenrechnung von Tetraeders geholfen und hab das richtige Ergebnis rausbekommen. mit bestem Dank
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Hey:)
kurze dumme Frage: Warum steht vor der Aufgabe eine 1/6 und nicht 1/3 ?
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Hi Timo,
dazu ne ganz kurze Antwort - das steht so in der Formel - die Formel hab ich noch nicht hergeleitet... da wäre dann die längere ANtwort zu suchen... hier einmal ein Versuch aus den Kommentaren weiter unten:
Die Formel dafür ist 1/3*Grundfläche*Höhe(Pyramide).
Die Grundfläche ist ja 1/2*Grundseite*Höhe(Dreieck) und wenn ich das zusammensetze, wird auch oben mit 1/6 gerechnet, nämlich
1/3*1/2*Grundseite*Höhe(Dreieck)*Höhe(Pyramide ud 1/3*1/2 ist 1/6)
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
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Hi Olaf,
wie sieht das denn aus wenn die Grundfläche der Pyramide quadratisch bzw. viereckig ist :-/ ?
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Hi Leo,
dann gibt's ja die Formel V=G*h wie im ersten Video... ;)
LG
OLaf
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Das wäre das Volumen wenn der Körper ein Quadrat wäre oder etwa nicht?
Gruß Ness
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*edit: Glaube er meinte wenn die Pyramide als Grundfläche ein Quader hat.
P.S Super Service hier bei Oberprima
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Hi Ness,
die Grundfläche kann ja kein Quader sein, weil ein Quader ja ein Körper und keine Fläche ist...
LG
OLaf
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Hallo OLaf!
Ich habe eine Frage zum ersten Video:
Muss AB nicht (4/ -2/ -4) sein? oder wie kommt man auf die -16? Ich dachte man nimmt quasi die Werte von B und subrahiert die Werte von A?Liebe Gruß!
inken-
Oh, sorry habe mich vertan.Jetzt sehe ich es, ich hab gedacht die 7 hätte ein minus als Vorzeichen :)
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Lieber Olaf, ich verstehe eine Sache nicht. Du hast im ersten Video die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ausgerechnet und kamst auf 60 LE. Das kann ich ja auch nachvollziehen. Nur habe ich versucht es etwas einfaher auszurechnen und zwar: Der Betrag des Kreuzproduktes 2er Vektoren ist ja bekanntlich der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms. Wenn ich nun das Kreuzprodukt aus Vektor AB und AC berechnen und daraus den Betrag zeihe, krieg ich ja Die Flöäche des Parallelogramms (in dem Fall des RECHTECKS, weil ja beide senkrecht sind) wenn ich das nun durch 2 Teile, müsste ich doch auch auf die Dreiecksfläche kommen, ich komme aber lediglich auf einen Flächeninhalt von 56,57 ?!?!?!? Warum??
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Oh ich sehe gerade, dass mein Vorgänger einen Fehler in deiner Vektorberechnung entdeckt hat. Wahrschienlich habe ich den übernommen und kam deswegen auf ein falsches Ergebnis?
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Bei mir laden die Vids nicht mehr :(....
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bei mir auch nicht :(
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Hey Olaf,
Deine Variante klingt um Einiges logischer als die meines Lehrers.Wir hatten C(0/0/0) A(7/3/0) B(0/3/0) gegeben und S(0/0/7)
Mein Lehrer ist dann einfach hergegangen und hat gesagt, die Höhe der Pyramide ist 7, wegen S, und hat dann um G zu ermitteln einfach 1/2 (mal) 3 (mal) 7 hingeschrieben, die gleiche Höhe aber nochmal bei V=1/3 (mal) G (mal) h eingesetzt.Das ist doch falsch oder?
Denn wenn ich diese Aufgabe so wie du rechne bekomme ich was ganz anderes raus als mein Lehrer-
Hi Rieke,
in Deinem Fall ist das ganze ja eine Pyramide, bei der alle unteren Punkte (also die in der Fläche), die z-Koordinate 0 haben - und S, die Spitze hat den z-Wert 7 - also ist da die Höhe 7...
Und dann kann man aus den Koordinaten sehen, dass die Grundfläche ein Rechteck ist - und dann kann man da auch die Flächenformel für ein Rechteck anwenden...
Und beides zusammen in die Volumenformel für eine solche Pyramide "schmeißen".
Das ist grundsätzlich schon ziemlich logisch (wobei ich natürlich im Unterricht nicht mit dabei war ;))
Kannst Du mir Deine Zwischenergebnisse mal posten, dann kann ich dazu auch was sagen ;)
LG
OLaf
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DANKE DANKE DANKE!!! Das hat mir richtig viel weitergeholfen, auch wenns bei mir ne Pyramide mit Quadrat als Grundfläche is. Ich muss schon sagen, das hier is schon ne verdammt gute Idee, die lässt sich mit Sicherheit gut vermarkten!
Nochmals danke!