Mathematik

Anwendungsaufgabe Integral- und Differenzialrechnung

Von Olaf Hinrichsen am 1. Juli 2008 veröffentlicht. Kommentare (17)

Eine Anwendungsaufgabe zur Differenzial- und Integralrechnung, die Prüfungscharakter hat. Dies ist ein Gerüstvideo, deshalb sind keine vollständigen Lösungen veröffentlicht sondern nur die Schritte, die zum Erfolg führen: Hinweis: ab Minute 8:47 schau Dir das pdf unterhalb des Videos an - da sind die korrekten Ergebnisse!

Verbesserungspdf http://www.oberprima.com/index.php/anwendungsaufgabe-integral-und-differenzialrechnung/nac...

Wir sehen ein Schaubild eines Funktionsgraphen, das eine Küstenlinie abbilden soll.

Weiterhin sind gegeben: Der Punkt B(1/2), C(2/4) und A(0/0)

In der Aufgabe soll erläutert werden, warum die Funktionsgleichung an Hand der wesentlichen Merkmale: f(x)=-3x^4+14x^3-21x^2+12x den Graphen beschreiben kann. Die Aufgabenstellung mit der Küstenlinie erweist sich dabei als Ablenkungsmanöver des Aufgabenstellers.

Die Aufgabe gehört zur Differenezialrechung und so sind Vokabeln gefragt, wie, wieviel Extrema eine ganzrationale Funktion hat. Es reicht nicht zu sagen, man sehe sofort, dass die Funktzion durch die Punkte verläuft - das stimmt zwar, aber es greift nicht weit genug. An der Funktion kann man aber zum Beispiel ablesen, dass, da der Funktionsterm kein absolutes Glied enthält, die y-Achse bei x=0 geschnitten wird.

Ganzrationale Funktrionen vierten Grades haben bis zu drei Extremstellen und der Graphenverlauf enthält 3 Extrema - diese Information kann also auch die Erläuterung stärken.

Es lässt sich auch feststellen, dass der Graph der Funktion 2 Wendestellen beinhaltet, jeweils zwischen den beiden Extrema. Begründung an Hand der Funktion: Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades oder eine quadratische Funktion - deren Schaubild ist eine Parabel, die maximal zwei Nullstellen beinhaltet,.

Auch die Öffnung des Graphen (nach unten) lässt sich wie im Video gezeigt, argumentieren, dass das Vorzeichen des Koeffizienten von x^4 negativ ist und somit die Öffnung der Parabel nach unten gerichtet sein muss.

Als nächstes wird der geringste Abstand zwischen den Punkten C und D berechnet, wobei, zunächst D als Hochpunkt bestimmt werden muss. Der Abstand selbst wird mit dem Satz des Pythagoras bestimmt.

Dann soll eine Parabel in das Schaubild skizziert werden, die eine Ändferung des Küstenverlaufs darstellen soll.
Die letzte Frage beschäftigt sich mit dem Landgewinn, der durch die neue Küstenlinie erzielt wird, beschäftigt.
Hier mündet dann die Aufgabe in die Integralrechnung.

Weitere Aufgaben zur Integralrechnung

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17 Kommentare

  • NeoN: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    giebt es kein video über verkettung von funktionen wenn nein bitte eins machen

  • Olaf: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Yo NeoN,
    gibbet, gibbet - einfach mal Kettenregel in die Suche eintackern ;)
    LG
    OLaf

  • Constie: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Du sagst "Bei einer ganzrationalen Funktion 3ten Grades haben wir maximal 3 Extrema."

    Diese Funktion ist 4ten Grades, desshalb 4 Nullstellen, 3 Extrema.

    Korrigier mich, wenn ich mich irre.

    Gruß

  • Olaf: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Hej Constie,
    danke für den Hinweis -da hab ich wohl zu schnell gesprochen.
    Du hast natürlich recht - es muss heißen, bei einer ganzrationalen Funktion 4. Grades haben wir maximal 3 Extrema!
    LG
    OLaf

  • AlexT: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Hallo Olaf,

    ich habe gerade deine Seite gefunden und ich finde deine Ideen+Videos super!
    Habe unfreiwillig LK Mathe in der 12und mein Mathelehrer kann gar nichts erklären, dementsprechend viel lernt man =(
    Wir haben gerade mit Integration durch Substitution angefangen, was ich leider nicht verstanden habe.
    Die vorhandenen Videos sind mir alle ein wenig zu Fortschrittlich, deshalb würde ich mich freuen wenn du die Regel der Substitution mir mal so einfach wie möglich darstellen könntest.

    LG Alex

  • Olaf: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Alex,
    vielen Dank für Deinen Kommentar. Ich will auf jeden Fall noch eine Serie dazu machen, aber wann es so weit sein, kann ich im Moment noch nicht sagen. Wenn Du aber Aufgaben hast, schick Sie mir gern an aufgaben@oberprima.com
    LG
    OLaf

  • Matthias: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    Hi Olaf,

    danke für deine hilfreichen Videos !!!

    Eine Frage zur Funktion oben...

    wenn ich diese funktion in den Rechner eingebe bekomme ich komplett andere X- und Y- Werte, kann auch keinen Bezug zur Einteilung der LE im Koordinatensystem im Video herstellen. Oder hab ich was übersehen ?

    Danke und weiter so !!
    Gruss,
    Matthias

  • Olaf: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    Hi Matthias,
    hast Du -3x^4+14x^^3-21x^2+12x eingegeben? Ich hab das grad mal hier eingegeben: http://www.mathe-fa.de und komme da auf diese Linie... was verwirren könnte ist, dass die x-Achse bei y=1,5 eingezeichnet ist und nicht wie normalerweise bei y=0... aber das war so ähnlich in der Aufgabenstellung drin...
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Matthias: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    Hi Olaf, danke für die schnelle Antwort, und ja ... sorry kommt tatsächlich der Graph raus !

    merci fürs nachschauen

  • Robert: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Olaf,
    Danke für die vielen Videos über Integralrechnung! :)

    Aber ich glaube bei diesem Video stimmt das Ergebniss nicht (oder ich hab mich verzettelt *g*).
    Dein Erg. ist 7/15 FE -> was 0,466' wäre und mein Ergebniss ist -96/5-172/3+79 = 2,46667
    Darum vermute ich mal Du hast beim ausrechnen Deines H(x) das allerletzte x vergessen (die -1 wird beim Integrieren zum X. -> eingesetzt wird dann die Integralgrenze 2 -> also minus 2). Diese Minus zwei vermute ich als Fehler.

    Mein H(x) schaut so aus:
    -(3/5)x^5 + 14/4x^4 - 21,5/3x^3 + 12,5/2x² - x
    => -96/5 - 172/3 + 79 => 2,466'

    (das letzte x ist die -1 aus g(x)!)

    Viele Grüße,
    Robert

  • okdoki: 6 Monate alt.

    Hi Olaf
    In deinem Pdf Dokument schreibst du 2*Polynomendivision. Durch was teilst du den neu entstandenen Term? Ich habe bereits versucht 1 und 2 in den neu entstandenen Term einzusetzen, da es Nullstellen sind, bekomm aber für x=1 0=1 und für x=2 0=(-1) raus. Ich hoffe du vestehst mein Problem.
    Liebe Grüße okdoki

  • Olaf Hinrichsen: 6 Monate alt.

    Hi okdoki,
    ich teile durch (x-1) und danach im zweiten Polynomdivisionsschritt durch (x-2)...
    Kannst Du mir Deine Polynomdivisionsergebnisse mal aufschreiben?
    LG
    OLaf

  • okdoki: 6 Monate alt.

    Schonmal danke für die schnelle Antwort;)
    Meine Polynomendivision mit (x-1), wobei mir nicht klar ist, warum ich gerade durch x-1 teilen muss.
    -3x⁴+14x³-20,5x²+11,5x-1 : (x-1) = -3x³+11x²-9,5x+2+[1/(x-1)]
    Ich hoffe du kannst den Fehler finden!
    Liebe Grüße okdoki

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