Mathematik

Aufleitung mit Substitution

Von Olaf Hinrichsen am 10. März 2009 veröffentlicht. Kommentare (39)

Die Aufleitung mit der Methode der Substitution kann man auch Integration durch Substitution nennen und hier findest Du ein Beispiel zu einem Bruch:

Und hier ein Ergänzungspdf mit einer Aufgabe, die erst nach Substitution aussieht, und es dann hinterher doch gar nicht ist...

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39 Kommentare

  • imi: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    hi olaf!
    wenn ich jetzt zb x³+3x^6-12 habe kann ich hier das substitutionsverfahren verwenden? VIELEN DANK IMI

  • imi: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    vielen dank olaf!
    lg imi

  • X-cremental: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    ah super danke jetzt habe ich das auch mit dem logarithmus verstanden ^^

  • Blossom: 3 Jahre, 1 Monat alt.

    Danke Olaf!!!

  • Daniel: 3 Jahre, 1 Monat alt.

    hey Olaf,

    bei mir in der formelsammlung steht dsa mit dem integral von x^-1 aber anders... da wird nämlich nur ln|x| +c draus, ohne das "geteilt durch" die innere ableitung von "x".

    lg Daniel

  • Olaf: 3 Jahre, 1 Monat alt.

    Hi Daniel,
    das liegt wohl daran, dass die innere Ableitung dabei 1 wäre und die wird nicht mit hingeschrieben, wenn sie mit einem Malzeichen verknüpft ist...
    LG
    OLaf

  • Jens: 3 Jahre alt.

    hey olaf,

    vielen danke für das Video, schreibe am Donnerstag Mathe Abi und ich finde dieses Verfahren einfach grausam.^^

    Danke dir!

  • Cornelia Chroner: 3 Jahre alt.

    Hey Olaf,
    also ich muss nur kurz dazu sagen, dass das doch auch einfach erklärt wäre, wenn du die allgemeine Regel anwendest, nämlich, dass wenn das obere die Ableitung des unteren ist, du einfach den ln der unteren funktion nehmen kannst. Das wäre bei dem Beispiel ja gegeben, wenn du oben mit 2 ergänzt und dementsprechend vor den Term 1/2 ergänz und auch dadurch 1/2 mal ln von f(x) da stehen hättest, wenn wie gesagt f`(x)/f(x) gegeben wäre.. vielleicht noch ein Video dazu, damit es noch einleuchtender ist und schneller geht bei Klausuren?!;)
    Gruß

    Hi Cornelia,
    vielen Dank für den Hinweis - sowas wie dieses Videos hier? http://www.oberprima.com/index.php/logarithmische-integration/nachhilfe
    LG
    OLaf

  • Hollowben: 2 Jahre, 10 Monate alt.

    Hi Olaf
    ich hab da mal ne Frage:
    wie gehe ich vor, wenn sich die "ganzrationalen" Funktionen im Zaehler bzw Nenner nicht um einen Grad voneinander abweichen...
    algemeiner:
    f = (x^m)/(a+x^n) fuer m

  • Hollowben: 2 Jahre, 10 Monate alt.

    ups, man kann hier also keine groeßer oder kleiner zeichen schreiben^^... okay, hier nochmal komplett:

    Hi Olaf
    ich hab da mal ne Frage:
    wie gehe ich vor, wenn sich die “ganzrationalen” Funktionen im Zaehler bzw Nenner nicht um einen Grad voneinander abweichen…
    algemeiner:
    f = (x^m)/(a+x^n) fuer m kleiner n; und n-m ungleich 1
    ich hab da einfach mal weitergerechnet nach deiner anleitung und komme ab diesem schritt nicht weiter:
    int(((a+z)*(nx^(n-1-m))dz)
    wenn n-m nicht 1 ist kuerzt sich das x nicht raus... und ich habe dann kein plan mehr was tun^^
    greezes Ben

  • Olaf: 2 Jahre, 10 Monate alt.

    Hej Ben,
    da hast Du recht - das wird nicht so einfach (soweit ich das im Moment sehe)
    Ich nehme mal ein konkretes Beispiel:
    int(x^2/()a+x^5)dx= (festhalten ;)
    (-2*Sqrt[10 - 2*Sqrt[5]]* ArcTan[((-1 + Sqrt[5])*a^(1/5) + 4*x)/ (Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]*a^(1/5))] + 2*Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])]* ArcTan[(-((1 + Sqrt[5])*a^(1/5)) + 4*x)/ (Sqrt[10 - 2*Sqrt[5]]*a^(1/5))] + 4*Log[a^(1/5) + x] - (1 + Sqrt[5])* Log[a^(2/5) + ((-1 + Sqrt[5])*a^(1/5)*x)/2 + x^2] + (-1 + Sqrt[5])* Log[a^(2/5) - ((1 + Sqrt[5])*a^(1/5)*x)/2 + x^2])/ (20*a^(2/5))
    Möchtest Du für solche Sachen eine allgemeine Formel herleiten?

    Für int(x^2/()a+x^6)dx= ist's humaner...:

    ArcTan[x^3/Sqrt[a]]/(3*Sqrt[a])

    Da bin ich jetzt gespannt ;)
    LG
    OLaf

  • Hollowben: 2 Jahre, 10 Monate alt.

    hi
    fuer ne allgemeine formel hab ich halt mal n bissle rumprobiert... komm aber jetzt nicht weiter... vielleicht faellt dir ja was dazu ein:

    int(((a*n*(nte wurzel aus (z))^(n-1-m))+(z*n*(nte wurzel aus (z))^n-1-m))^(-1))dz)

    hab gewisse schwierigkeiten das hoch zu leiten.... gibts ne moeglichkeit?
    mfG Ben

  • Olaf: 2 Jahre, 10 Monate alt.

    Hej Ben,
    ich kann mir vorstellen, dass es da ne Möglichkeit gibt ;) aber das ist im Moment für OberPrima noch zu weit draußen...
    Hoffe, Du siehst mir das nach ;)
    LG
    OLaf

  • Puah: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    hej Olaf,
    Deine Viedeos sind echt super witzig und hilfreich. wenn es dir nichts ausmacht könntest du für mich die Exponentialfunktion
    z(t)= 0.02*e^0.01*t+3.1 aufleiten.

    liebe Grüße
    P

  • Markus: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Hallo Olaf,

    Wie bei der partiellen Integration verläuft die Integration bei Funktionen a la
    ax^m/bx^n
    mit
    m kleiner n-1

    auch mit mehrfacher Substitution. Also erst einmal integrieren, dann nochmal, etc, solange, bis eine endgültige Formel da ist.

    Und eine Bitte: nenn' bitte Stammfunktionen nicht "DIE Stammfunktion", sondern "EINE Stammfunktion". Ersteres ist nämlich falsch ;-)

  • Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Hej Markus,
    vielen Dank für Deinen Input ;)
    Wegen der Stammfunktion bzw. einer Stammfunktion - ich werde mich bemühen ;)
    LG
    OLaf

  • Moep: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    Tolles Video, hät ich das bloß schon vorher entdeckt ^^
    Wie läuft das eigentlich mit den Grenzen beim integrieren ab, die muss man bei Substitution doch auch noch anpassen, oder?

  • Gaudi: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    Hallo Olaf,

    GANZ GROßES PROBLEM!!!!

    Aufleiten von 4x * e^(-0,5*x) ?!??!?!

    Kannst du mir weiterhelfen??? Morgen schreibe ich eine Matheklausur... :(

    Vielen Dank
    MfG
    Gaudi

  • Julian: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Hallo Olaf =)

    könntest du mir mal bei der Aufgabe:
    x*(a^2*x^2-x^2)^-0.5 helfen ? die kam bei uns in der Arbeit dran und weder ich noch dieser WolframAlpha rechner kann mir die aufleitung dazu errechnen.

    Lg
    Julian

    ps: Eure Seite ist die beste Onlinenachhilfe die man sich vorstellen kann

  • willi: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    hey, das war super. habs verstanden und ist verdammt einfach so
    dickes thx ;)

  • oskar: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Harte Nuss.. muss ich als Mensch im Grundkurs beim Abitur nicht wissen oder?

  • Olaf: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Oskar,
    das kann ich so nicht beantworten, weil es sein kann, dass in dem einen oder anderen Grundkurs so was besprochen wird und in anderen nicht. Und es kann auch sein, dass solche Aufgaben in einigen Bundesländern auch im Zentralabi drin sind und in anderen nicht... Da würde ich Dir vorschlagen, entweder Deinen Lehrer vor Ort zu fragen oder nach den Anforderungen für Dein Bundesland im Internet zu suchen...
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Niklas: 2 Jahre, 1 Monat alt.

    hey olaf,
    ich tu mir sehr schwer zu verstehen, was es mit dem dx, dz etc auf sich hat.
    ich habe diesen ausdruck als - eben einen - ausdruck kennen gelernt, mit dem ich angeben kann nach welcher variable ich aufleiten möchte.
    jetzt bin ich in einer musterlösung einer abiaufgabe, und schließlich auch hier darüber gestolpert, dass irgendwie gleichungen damit aufgestellt und umgeformt werden.

    ergo verstehe ich nicht, warum mensch nicht einfach y = x / (5 + z) dsqrt(z) oder sowas schreibt, wenn man doch einfach das x² durch ein z ersetzt?

    ich schreibe dienstag lk-abiklausur in mathe, daher wärs toll wenn ich möglichst bald da durchblicken würde :P

    alles beste und anarchie & kekse,
    Niklas ;)

  • Olaf: 2 Jahre, 1 Monat alt.

    Hi Niklas,
    einmal hab ich hier ein Video: http://www.oberprima.com/index.php/was-heisst-eigentlich-dx/nachhilfe
    aber Deine Frage ist ja eine "Warum nicht?" Frage
    "warum mensch nicht einfach y = x / (5 + z) dsqrt(z) oder sowas schreibt, wenn man doch einfach das x² durch ein z ersetzt?"
    Warum nicht ist ja nur eine Sache von : Warum hat das noch nicht irgendwer erfolgreich gemacht oder gezeigt. Ich will nicht ausschließen, dass es eine Möglichkeit gibt, Deine Schreibweise sinnbringend anzuwenden, aber die andere Schreibweise hat sich durchgesetzt. Soll heißen: Wannn brauche ich das mit dem dx und ist es für diese Aufgaben wichtig zu wissen, warum das so geschrieben wird oder ist es wichtiger zu wissen, was ich wann anwende, um die Punkte abzuräumen?
    Oder noch anders ausgedrückt: Diese Frage bringt Dich weiter von der Lösung, die Aufgaben richtig zu rechnen... es sei denn, es würde Dir die Frage gestellt, was es mit dem Differentialoperator auf sich hat (dann könntest Du das hier antworten: http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialoperator) aber ich bin mir ziemlich sicher, dass solch eine Aufgabe nie gestellt wird...
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Niklas: 2 Jahre, 1 Monat alt.

    hm. also die links haben mir leider nicht wirklich geholfen. wiki brauch ich nix zu zu sagen, und was in dem video gesagt wurde wusste ich ja wie gesagt schon. was ich mich eben frage ist, warum zur hölle leitet mensch jetzt die "substitutionsgleichung" (so nenn ich sie mal) ab, schreibt dann noch dx bzw. dz dran (wo nichtmal eni integral davor ist), um zu guter letzt auch noch _nach dx aufzulösen_, was ja irgendwie kein wert ist sondern nur sone art ausdruck, oder wegweiser was aufzuleiten ist.

    mir scheint ich hab da irgendwas komplett falsch verstanden? ...

    lg,
    Niklas

  • Olaf: 2 Jahre, 1 Monat alt.

    Hi Niklas,
    dann geht's Dir um den Beweis oder die Herleitung der Substitutionsregel, oder?
    Wenn F'(x)=f(x) gilt und umgekehrt:
    Int(f(x))dx=F(x)
    Jetzt nehme ich mir eine verkettete Funktion
    also F(x)=G(h(x))
    dann gilt ja auch
    F'(x)=G'(h(x))*h'(x) oder
    =g(h(x))*h'(x)
    also umgekehrt:
    Int_von a bis b(g(h(x))*h'(x))dx
    =[G(h(x))]_von a bis b
    und wenn man da nach dem Hauptsatz der Integralrechnung einsetzt
    =G(h(b))-G(h(a))
    und das ist wiederum
    Int_von h(a) bis h(b) (g(x))dx
    Das ist das, was hier passiert: http://www.oberprima.com/index.php/integrationsgrenzen-aendern/nachhilfe
    Und die allgemeine Substitution ist davon eine Spielart, wenn man substituiert und hinterher resubstituiert, muss man die Grenzen nicht ändern...
    LG
    OLaf

  • Felix: 1 Jahr, 12 Monate alt.

    hey olaf
    erstmal deine videos sind echt hilfreich aber ich habe ein aufgabe da weiß ich nicht weiter

    ich soll die folgende funktion aufleiten

    f(x)=(x²-2x-3)/(2x-4)

    wie mache ich denn sowas

  • Max: 1 Jahr, 8 Monate alt.

    Hi Olaf,

    darf man in einer Klausur oder Präsentation rein fachlich gesehen den Begriff Aufleitung/aufleiten benutzen? Der richtige Begriff ist ja Integration/integrieren ist oder ist Aufleiten auch korrekt als Begriff?

    lg max

  • Lisa: 1 Jahr, 4 Monate alt.

    Hey Olaf !

    Wie rechne ich jetzt aber weiter wenn sich nichts kürzen lässt wie hier im Video nun die x^3 ?
    wenn zum beispiel nach der Substitution im Zähler x^5 steht und im Nenner x^7 ?

    danke im voraus !

    • Olaf Hinrichsen: 1 Jahr, 4 Monate alt.

      Hi Lisa,
      da müsstest Du mir noch mal Deine konkrete Funktion ansagen, bitte ;)
      LG
      OLaf
      P.S.: Kann ja sein, dass man besser was anderes substituiert, dann ;)

      • Lisa: 1 Jahr, 4 Monate alt.

        hab das mit den x^3 mit nem anderen Video verwechselt, sorry.
        meine Frage passt hier aber trotzdem...
        nach der Substitution hab ich das Integral von x / 5+z * 1/ 2x
        in deinem Video.
        Dadurch kann ich ja die zwei x rauskürzen.
        was wäre nun aber wenn ich nicht kürzen kann bzw. wenn die Substitution nicht so schön aufgeht wie hier in dem Beispiel ?
        Wie kann ich dann weiter rechnen oder ist in dem Fall ne Substitution total falsch?
        Und hast du zufällig ein Basisvideo dazu wie man Brüche aufleitet die nicht gerade 1/ irgendwas sind?
        Hab grad keins gefunden, aber vielleicht hab ich das ja auch übersehen.

        Vielen lieben dank ;)
        Lisa

      • Olaf Hinrichsen: 1 Jahr, 4 Monate alt.

        Hi Lisa,
        ja, wenn man das nach der Substitution nicht kürzen kann, dann ist die Substitution wahrscheinlich falsch ;)
        Es gibt noch dieses Verfahren: http://oberprima.com/mathenachhilfe/partialbruchzerlegung/
        und dieses hier: http://oberprima.com/mathenachhilfe/herleitung-grundintegral-arctanx/
        Hier auch noch mal das Problem mit den Verfahren: http://oberprima.com/mathenachhilfe/stammfunktion-welches-verfahren/
        kommt aber, wie Du siehst, in diesem Punkt sehr auf die Funktion an...
        LG
        OLaf

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