Mathematik

Differenzenquotient

Von Olaf Hinrichsen am 6. April 2008 veröffentlicht. Kommentare (57)

Mit dem Differenzenquotienten (der wird auch Differenzialquotient (alte Schreibweise Differentialquotient) genannt, wenn die Differenz der x-Werte sehr klein wird (also die Geschichte mit dem limes)) kann man die Steigung an einer bestimmten Stelle bestimmen, aber auch eine Ableitungsfunktion herleiten.

Im ersten Video wird der Differenzenquotient erklärt, es wird die Steigung in einem Punkt berechnet und dann hinterher auch die Ableitungsfunktion:

Hinweis: Bei 3:17 kann es etwas verwirren, weil da erst steht x+h=x0 und dann in der Formel schreibe ich x0+h und benutze das für x Standardmäßig wird x=x0+h gesetzt, aber das ganze würde aber auch mit Minus funktionieren, wenn man also für x=x0-h rechnen würde, was ja eine Umformung von x+h=x0 ist...

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Anmerkung von Stefan: In meinem Skriptum zu diesem Thema wird im ersten Teil ein allgemeiner Differenzenquotient erklaert - mittlere Steigung vom Intervall [x,x+h]. Im zweiten Teil wird dann der Differenzenquotient erweitert mit dem “Limes” um somit an die momentane Steigung zu kommen. Sobald man ein limes in der Formel drinnenstehen hat, spricht man dann von einem “Differenzialquotienten” und nicht mehr von einem “Differenzenquotienten”. “Differenzenquotient” -> mittlere Steigung im Intervall “Differenzialqoutient” -> momentane Steigung bei x0

Weitere Videos zum Thema Differenzenquotient bzw. Differenzialquotient:

Der Differenzenquotient am Beispiel einer ganzrationalen Funktion und
einer linearen Funktion . Die Steigung berechnen mit dem Differenzenquotienten kann man
mit der x-Methode oder, für einige Gehirne schöner, mit der
h-Methode . Damit kann man zum Beispiel auch die Ableitungsfunktion der Hyperbel f(x)=1/x berechnen, sowie die
Herleitungen verschiedener Ableitungsfunktionen bewerkstelligen.

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57 Kommentare

• chro: 3 Jahre, 7 Monate alt.

  hey ist da nicht ein fehler?

  zuerst sagst du x+h =xnull
  und ansachließend sagst du x = h + xnull....

• Olaf: 3 Jahre, 7 Monate alt.

  das kann leicht mal passieren, lieber chro... richtig ist jedenfalls:
  x=x0+h

• Mani: 3 Jahre, 5 Monate alt.

  hey olaf!

  dann is dir wohl ein fehler eingeschlichen weil nach deiner zeichnung ist x+h gleich x0, oder ?

  mfg

  mani

• Olaf: 3 Jahre, 5 Monate alt.

  Hi Mani,
  das hast Du richtig beobachtet -
  richtig ist jedenfalls:
  x=x0+h
  Das ganze würde aber auch mit Minus funktionieren, aber standardmäßig wird's so gemacht
  LG
  OLaf

• matthias: 3 Jahre, 4 Monate alt.

  hey,
  heisst das also x0-h=x auch richtig waere?

• Olaf: 3 Jahre, 4 Monate alt.

  Nee,
  von x=x0+h folgt, wenn ich |-h rechne
  x-h=x0
  LG
  OLaf

• Lukas: 3 Jahre, 3 Monate alt.

  warum macht man das denn überhaupt, dass man nicht weiter mit lim x gegen xo rechnet sondern h gegen 0?
  MFG
  Lukas

• Olaf: 3 Jahre, 3 Monate alt.

  Hi Lukas,
  weil das weniger zu schreiben ist *lol*
  Nee, im Ernst, wenn ich statt x-x0 einfach nur h schreiben kann, ist das schon ein Gewinn an Übersichtlichkeit...
  Und letztlich würde ich in der Nachhilfe sagen: Das ist so ähnlich, als wenn man fragt, warum man denn statt "I am" im Englischen "I'm" schreibt oder sagt...was will ich damit sagen - die limes-Geschichte in der Schulmathematik hat in den allermeisten Fällen Vokabelcharakter, was soviel heißt, wie: Auswendig lernen und nicht mehr warum fragen... ;)
  Hoffe, das war Dir nicht zu flapsig ;)
  LG
  OLaf

• Nazanin: 3 Jahre, 3 Monate alt.

  Hallo,
  Ich versthe nicht ganz, weil oben ist ein mal mit der X-methode und dann nochmal rechnest du es mit der H-methode. sollte man das nicht entweder mit h oder X-methode rechnen?
  Übrigens diese Seite ist toll.

  Danke

• Olaf: 3 Jahre, 2 Monate alt.

  Hi Nazanin,
  x-Methode und h-Mathode sind nicht so weit voneinander entfernt, denn:
  Bei der x-Methode strebt ja x gegen x0, dass heißt der Abstand zwischen beiden strebt gegen Null - und der Abstand wird in der h-Methode "h" genannt.
  Im Endeffekt ist die x-Mathode also genau das gleiche wie die h-Methode...
  Ich hoff, ich hab Dich richtig verstanden...
  LG
  OLaf

• Lübic: 3 Jahre, 2 Monate alt.

  Eine Suuuperseite ;)
  Dankeschön

• Kitty: 3 Jahre, 2 Monate alt.

  hi olaf!
  ich habe eine aufgabe zu dem thema, die ich nicht lösen kann. deine 3 aufgaben haben mir leider auch nicht weitergeholfen..
  ich soll die h-methode auf f(x)=3x²+5x anwenden. wie funktioniert das ganze, wenn ein faktor, in dem fall 3, dabei steht??
  schreibe nächste woche eine klausur darüber und hab noch ein paar probleme mit dem thema...

  vielen dank, schonmal, für's lesen!!

  LG

  Kitty

• Olaf: 3 Jahre, 1 Monat alt.

  Hi Kitty,
  dann ist
  f(x+h)=3*(x+h)^2+5*(x+h)
  und
  f(x) bleibt ja 3x²+5x
  Hilft Dir das weiter?
  LG
  OLaf

• Peed: 3 Jahre, 1 Monat alt.

  Hallo Olaf
  ich hab ein Problem und zwar soll ich f'(X0) mit f(X)= 2X^3 - X^2 und X0= 1 mit der H-Methode berechnen.
  Wie man normalerweise Ableitet weiß ich. müsste 6X-X rauskommen und mit X0=1 -> 5.
  Leider komme ich nicht aus das selbe Ergebniss.
  Schreib am Freitag eine Arbeit darüber.
  danke schonmal im Vorraus
  MFG Peed

• Olaf: 3 Jahre, 1 Monat alt.

  Hi Peed,
  wenn f(X)= 2X^3 - X^2 fir Funktion ist, dann ist die Ableitung:
  f'(x)=6x^2-2x
  Wenn das beim Differenzenquotient rauskommt, hast Du gewonnen ;)
  LG
  OLaf

• Kaiie: 3 Jahre alt.

  du stellst die gleichung x+h=xo auf, wenn du sie dann aber einsetzt, steht dort wo vorher ein x stand plötzlich "xo+h" was ja heissen würde das x=xo+h ist.
  Ich weiss abr nicht wie du

  xo+h=x x+h=xo

  das gemacht hast. Danke im Voraus

• Olaf: 3 Jahre alt.

  HI Kaiie,
  das eine war die Veranschaulichung und das andere kommt dann aus der Formel - ich hab mal über dem Video dazu eine Erklärung geschrieben - hoffe, das passt so für Dich.
  LG
  OLaf

• thea: 3 Jahre alt.

  der kann sich zufrieden zurücklehnen und sich die nächste aufgabe reinziehn...
  :D
  absolut spitze!

• chris: 2 Jahre, 9 Monate alt.

  Hey, spitzen Video, Ich war zwar nicht in der Vorlesung, aber auch nach einer halben Std. MatheBuch Studium hab ich den Zusammenhang zwischen DiffQuot. und der Ableitung immer noch nicht gerafft. Hier aber hats mich nicht mal 6 min gekostet :D Klasse! Thumbs Up! Vielen Dank!

  Willst du nicht noch ein Themengebiet "Mathematik für Informatiker" hinzunehmen?!

  lg chris

• Christian: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Servus,

  ich hänge grade auch an 3:17.

  Ich verstehe die Erklärung leider nicht, denn wenn der Abstand von x zu x0 h ist, dann x0=x+h ist (was ja auch Sinn macht), aber dann auf einmal der Abstand umgeformt wird, muss es x=x0-h sein. Anders ist es doch garnicht möglich.

  Würden wir das mit Zahlen machen, sieht es so aus:
  x=1 x0=5, h=4 (Differenz zwischen 5 und 1).
  1+4=5 kann aber nicht 5+4=1 werden.
  Habe ich einen Denkfehler oder ist es im Video falsch?

• Tarik: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Moin,

  MIr platzt grad der Kopf bei meiner Matheaufgabe -
  "Bestimme die momentane Steigung an der Stelle x1"
  f(x)=2x²-x

  und des ganze im Zusammenhang mitm Differenzenquotient - ich blick nicht durch

• Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Moin Tarik,
  ich hätte hier erst mal ein Video für Dich: http://www.oberprima.com/index.php/steigung-berechnen-mit-differenzenquotient/nachhilfe
  Vielleicht hilft Dir das ja schon weiter?
  LG
  OLaf

• Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Hej Christian,
  h kann ja auch ein besonders kleiner "negativer" Wert sein... Hilft Dir das weiter?
  LG
  OLaf

• Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Hej Chris,
  ich will gern noch ne ganze Menge Themen mit aufgreifen, allerdings bei Mathe "für Uni" wird das ganze sehr vielfältig, so dass ich denke, dass ich dafür Unterstützung brauchen kann.
  Hättest Du Lust?
  LG
  OLaf

• Stefan: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Hallo Olaf,

  danke fuer die guten Videos.
  Kurze Frage des Begriffes "Differenzenquotient". In meinem Skriptum zu diesem Thema wird im ersten Teil ein allgemeiner Differenzenquotient erklaert - mittlere Steigung vom Intervall [x,x+h]. Im zweiten Teil wird dann der Differenzenquotient erweitert mit dem "Limes" um somit an die momentane Steigung zu kommen.
  Worauf ich hinaus will, sobald man ein limes in der Formel drinnenstehen hat, spricht man dann von einem "Differenzialquotienten" und nicht mehr von einem "Differenzenqutienten".

  "Differenzenquotient" -> mittlere Steigung im Intervall
  "Differenzialqoutient" -> momentane Steigung bei x0

  Ist diese Aussage richtig?

  Schoenen Dank

• Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Hej Stefan,
  ja, die Aussage ist richtig.
  LG
  OLaf ;)

• Stefan: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Vielen Dank fuer die schnelle Antwort!
  Dann muss dieses Video eigentlich irgendwie so heissen "Bildung des Differentialqoutienten" oder?

• Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

  Hej Stefan,
  das könnte man so nennen - ich habe mich dafür entschieden, in dem Text über dem Video auf diese sprachliche Konvention hinzuweisen und unter dem Video habe ich Deinen Text noch mal gepostet.
  Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist der Differentialquotient und das ist wiederum die STeigung in einem Punkt oder an einer Stelle und damit wiederum in der Summe aller dieser einzelnen Steigungswerte, die Ableitung der Funktion...
  LG
  OLaf

• Miicha: 2 Jahre, 7 Monate alt.

  hey olaf,
  sag mal könntest du mir die Lösung für Aufgabe b) und c) sagen,damit ich vergleichen kann?Das wäre nett.
  Liebe Grüße

• Olaf: 2 Jahre, 7 Monate alt.

  Hej Miicha,
  zu c) hab ich hier die Lösung als Video: http://www.oberprima.com/index.php/differenzenquotient-ganzrationale-funktion/nachhilfe
  und bei b kommt 1 als Lösung raus...
  LG
  OLaf

• Lotha: 2 Jahre, 3 Monate alt.

  Hallo,
  ich glaube du hast einen Fehler in dem Video, da x+h=xo ist, muss anschließen in die Gleichungvom lim für das x nicht xo+h eingesetzt werden, sondern xo-h . Am ende spielt es keine große Rolle, aber streng genommen ist es doch ein Fehler, meld dich fals ich mich irre.

  Gruß
  Lotha

• Lotha: 2 Jahre, 3 Monate alt.

  ich glaube du hast in deiner skizze einfach xo und x vertauscht, wenn du xo gegen x laufen lässt, hat man hinterher die gleichung: xo+h=x , somit ergibt sich auch der rest logisch.
  wenn ich falsch liege, meld dich bitte kurz

• Olaf: 2 Jahre, 3 Monate alt.

  Hi Lotha,
  ich hab das ein wenig anders aufgeschrieben, als es sonst im Unterricht vorkommt, aber falsch ist das nicht - kannst Dir ja mal über dem Video den Text reinziehen ;)
  LG
  OLaf

• Ouissam: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  Ja hallo,

  ich hätte mal eine Bitte und zwar f(x) = x²+2x mit der h- Methode durchzuführen. Ich versuche es schon Stunden lang aber es geht einfach nicht auf!!

  Ich danke schon im vorraus

  LG Ouissam

• Olaf: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  HI Ouissam,
  kannst Dgu mir da mal Deine Rechnung in einen Kommentar schreiben, dann kann ich schauen, wo der Haken ist... ;)
  LG
  OLaf

• Ouisssam: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  Ja hallo Olaf,
  hmmm mein Ansatz ist so aber bestimmt falsch!

  f(x)=x²+2x

  lim (x+h)²+2*x+h - x²-2x
  h->0 h

  bei mir scheiters immer am Anfang, weiss nie genau ob es richtig oder falsch ist.

  LG Ouissam

• Ouisssam: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  wollte noch was korrigieren und zwar (x+h)²+2*x+h - x²-2x
  h

  ( soll durch h heissen , kann man aber net erkennen)

• Olaf: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  Hi Ouisssam,
  das ist schon sehr nah dran:
  lim [(x+h)²+2*(x+h) - x²-2x]/h
  h->0
  jetzt werden die Klammerterme ausgerechnet und dann das h ausgeklammert...
  Ich mach mal den ersten Schritt
  (x²+2xh+h²+2x+2h-x²-2x)/h
  Kommst Du damit weiter?
  LG
  OLaf

• Ouissam: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  Viiiiiieeeellen dankkk!!!!!!!!!!!!!!

  Lg ouissam

• Ouissam: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  Ähm Olaf,

  könntest du mir erklären wie man f(x)= 1/x ; f(x)= 3/x und f(x)= 1/3 wurzel x ableitet

  lg Ouissam

• Olaf: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  HI Ouissam,
  mit Differenzenquotient oder so: http://www.oberprima.com/index.php/ableitung-verschiedene-funktionen/nachhilfe (im dritten Beispiel ion dem Video wird 4/x abgeleitet...)
  Und zur Ableitung der Wurzelfunktion: http://www.oberprima.com/index.php/ableitung-wurzelfunktion/nachhilfe
  Hoffe, das hilft Dir weiter
  LG
  OLaf

• Sonja: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  Hallo Olaf,

  Könntest du mir bei folgender Aufgabe, die mit der h-Methode gelöst werden soll einmal helfen...

  wir lösen die Aufgaben in der Schule nach diesem Schema:
  f(x0+h)-f(x0)/h
  Aufgabe:
  f(x^3) x0=-1

  ich weiß nicht wie ich mit dem x^3 umgehen muss...

  Danke schon mal (:

• Sonja: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  ich bins nochmal:

  also wenn ich damit anfange steht da ja:

  = lim (-1+h)^3-(-1)^3
  h→0

  oder?

  also die erste Klammer aufzulösen bereitet mir gerade Probleme (:

• Olaf: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  Hi Sonja,
  meinst Du f(x)=x³ und x0=-1?
  dann ist Dein Ansatz ja:
  ((-1+h)³-(-1^3))/(h)
  Zum Ausrechnen von (-1+h)³ braucht man das Pascalsche Dreieck: http://www.oberprima.com/index.php/herleitung-pascalsches-dreieck/nachhilfe
  Kommst Du damit weiter?
  LG
  OLaf

• Sonja: 2 Jahre, 2 Monate alt.

  jau, vielen dank!

  find ich echt super, dass es so eine Seite gibt (: vor allem versteht man es auch, so wie du das erklärt (:(:

• visitor: 2 Jahre, 1 Monat alt.

  Hey :)
  Tausend Dank für diese tolle Seite, die verständlichen Erklärungen.. :)
  Momentan hab ich nämlich echt die Freude an Mathe verloren. Im Mathebuch kann man kaum was verstehen, mit den Erklärungen allerdings schon ;)
  DANKEEEEEEEEEEEE

• Sean: 2 Jahre alt.

  Hey.. mich würde interessieren wie das mit

  f(x)= -x²+x aussehen würde. Ich komme mit dem +x nicht klar... und dem "-" vor dem x².

  Würde gerne wissen, wie die erste Zeile aussehen würde, denn bisher hatten wir nur welche in der Form wie f(x)=x²-1.

  lim
  h->0.... ect...

• Olaf: 2 Jahre alt.

  Hi Sean,
  da hab ich hier Deinen Ansatz: http://www.scribd.com/doc/30465439/Erganzungspdf-http-www-oberprima-com-index-php-differenzenquotient-nachhilfe-Ansatz
  Hoffe, das hilft Dir weiter
  LG
  OLaf

• Sean: 2 Jahre alt.

  Wow, danke. Das hat mir wirklich geholfen. :D

• Ann-Kristin: 1 Jahr, 6 Monate alt.

  OMG!!

  Diese Seite ist echt das beste was mir passieren konnte!!!

  Ich schreibe morgen eine Mathearbeit und es ist mitten in der Nacht und ich habe bis gerade eben NICHTS verstanden!

  Ich habe eine sehr lange Liste mit Dingen die ich für die Arbeit können muss und innerhalb 1 Stunde konnte ich dank dir alle Punkte abhaken!!!

  Genial xD

  DANKE!!!

• Differenzenqoutienten, endlich verstanden! - Natha: 1 Jahr, 6 Monate alt.

  [...] Hier gehts zu www.oberprima.com. Share and Enjoy: Diese Icons verlinken auf Bookmark Dienste bei denen Nutzer neue Inhalte finden und mit anderen teilen können. [...]

• Sarah: 1 Jahr, 3 Monate alt.

  Könnte mir jemand helfen ?
  Also ich hab nun keine Idee wie ich das berechnen soll, wenn zwei Funktionen gegeben sind wie :
  f(x) = 0,5² und g(x) = 3x³ + 1 im Intervall I = [ 0 ; 2 ]

  davon den Differenzenquotienten berechnen.

  Danke schon mal !

• Sarah: 1 Jahr, 3 Monate alt.

  ein Fehler ups !
  es heißt f(x) = 0,5 x² !!

  ^^

  • Olaf Hinrichsen: 1 Jahr, 3 Monate alt.

    HI Sarah,
    danke für die neue Aufgabe
    Ich finde es toll, dass auf OberPrima mittlerweile so viel los ist, dass ich schon länger zeitlich nicht mehr in der Lage bin, alle Fragen selbst zu beantworten, die auf hier gestellt werden.

    Deshalb gibt es jetzt Gruppen, Foren, die Möglichkeit, mit Freunden gemeinsam zu lernen - hier einmal ein Einstiegslink: http://oberprima.com/groups/mathematik/forum/
    Da wäre es dann ganz hilfreich, wenn Du die Frage noch mal ganz stellen könntest ;)
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

• Thomas : 3 Monate alt.

  Dieses Video hat mir sehr geholfen. Hätte gerne so ein lehrer

• Giou: 2 Monate, 1 Woche alt.

  gut erklärt ;)
  ich bräuchte jetzt nur eine beispielaufgabe wo man eine zahl für x0 einsetzt...

• Olaf Hinrichsen: 2 Monate, 1 Woche alt.

  Hey Giou,
  unter dem Video findest Du "Weiterführende Videos zu diesem Thema" und da ist ein Beitrag verlinkt mit einem konkreten x0-Wert.
  LG
  OLaf

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