Mathematik

Herleitung Quotientenregel

Von Olaf Hinrichsen am 19. Oktober 2009 veröffentlicht. Kommentare (24)

Die Herleitung der Quotientenregel geht aus vom Differenzialquotienten und dann wird aufgelöst um am Ende auf f '(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v(x)² zu kommen. Mit dabei, wie auch schon bei der Produktregel, ist die geschickte oder hilfreiche Null und das Wiedererkennen der Formel des Differenzialquotienten:

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24 Kommentare

  • puh: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    hallo erstmal
    also ich soll in der Schule die Quotientenregel vorstellen und die Erklärung in dem Video hilft mir erheblich weiter. Ich hab nur an einer Stelle eine Frage, das mit dem Minus und Plus vertauschen verstehe ich nicht (an der Stelle 11:50min). Es wäre sehr freundlich wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
    lg

  • Dani: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hey

    Bei 3:45 erklärst du, dass -2:4:5 das gleiche wie
    -2:5:4 ist. Das stimmt ja auch, aber ist -2:5 nicht das gleiche wie -2/5 (minus zwei fünftel)???
    Dann wäre das ja -2/5 : 4; umgeformt -2/5 * 1/4.
    Aber kann ich jetzt nicht auch sagen:

    -2 : 4/5??? umgeformt -2 * 5/4. Verstehste mich?!

    Gibts da ne Regel, oder hab ich da nur n Brett vorm Kopf?

  • Olaf: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hej Dani,
    ja, -2 : 4/5 = -2 * 5/4 ;)
    Die Regel, die dahinter steht ist eigentlich nur, dass man durch einen Bruch teilt. in dem man mit seinem Kehrwert multipliziert...
    Auch bei 2:4:5 ist es ja im Prinzip 2/4 : 5/1...
    LG
    OLaf

  • Dani: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Kommt da des gleiche raus???

  • Olaf: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hej Dani,
    hast Du's nicht ausprobiert? ;) Ja, da kommt jedesmal -2,5 raus ;)
    LG
    OLaf

  • Dani: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Okay... sorry, dass ich dich wahrscheinlich nerv...

    Aber bei meinem Zitat: "Dann wäre das ja -2/5 : 4; umgeformt -2/5 * 1/4." kommt ja net -2,5 raus.. da hab ich nen denkfehler gemacht, oder?

    Hab Gnade ;-)

    Sorry

  • Olaf: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hej Dani,
    Du nervst absolut nicht ;) allerdings will ich gleich schon mal nachfragen, ob Du das mal in einen Taschenrechner eingetippt hast?
    Bei Deiner Rechnung: -2/4:4=-2/5*1/4 kommt beide Male -1/10 raus... die -2,5 kamen aus dem anderen Beispiel ;)
    LG
    OLaf
    P.S.: Zwei Aufgaben zum Testen:
    6:7:2
    8:11:3
    Forme den Term in eine andere Schreibweise um ;)

  • Dani: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    hey.

    Also ich habe das alles schon in den Taschenrechner eingetippt. Bei mir ist auch mal -1/10 rausgekommen und bei dem anderen Term -2,5, genau das hat mich ja stützig gemacht. Ich habe einfach bei -2:4:5 versucht, ob egal in welcher Reihenfolge ich die Zahlen miteinander teile, das Gleiche raus kommt.
    Bei -2 : 4/5 kommt -2.5 raus
    bei -2 : 5/4 kommt -1.6 raus
    bei -2/4 : 5 kommt -1/10 raus
    bei -2/5 : 4 kommt -1/10 raus

    ich weiß, dass bei der Term -2:4:5 gleich -1/10 ist, aber ich will ja net auf die anderen reinfallen. Klar ist auch, dass das Komotativgesetz nicht gilt.
    Ist die "Regel" also, dass ich zuerst den Zähler mit dem einen Nenner, dann mit dem anderen verrechne und nicht den Bruch aus beiden Nennern mit dem Zähler (ersten beide Ergebnisse mit -2,5 und -1,6)?!

    Ich weiß, ich denk gerade ein bisschen kompliziert, aber stimmt das so, wie ich des mein?

  • Olaf: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hey Dani,
    ich freue mich über Dein Engagement ;)
    Lass mich mal zusammenfassen, was Du herausgefunden hast:
    Wenn der Zähler eines Bruches ein Bruch ist, dann kann man die Nenner des Zähler mit dem Nenner des Bruches vertauschen.
    Und ein weiterer Satz:
    Wenn der Nenner eines Bruches ein Bruch ist, dann gilt: Man teilt durch einen Bruch, in dem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
    Aber ich hab dazu auch noch mal ein Ergänzungspdf gebaut und hochgeladen: http://oberprima.posterous.com/erganzungspdf-herleitung-quotientenregel-345
    LG
    OLaf

  • Dani: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hey Olaf.

    Vielen Dank nochmal. Hast mir echt geholfen. Jetzt weiß ich bescheid ;-)
    Nur noch eine Frage (wenn ich sie mir erlauben darf^^):

    Mit der Quotientenregel ist alles klar, aber für was konkretes bracuh ich sie?
    Für was brauch ich die Ableitung von zwei mit sich dividierten Funktionen?
    Hast du da vllt ein Beispiel aus dem Alltagsleben?
    Wäre echt nett.

  • Dani: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hey.

    Wollt mich ainfach nommal für die Hilfe bedanken. Hat mir echt viel gebracht.
    Ich find die Aktion, die da am laufen hast, mit der ganzen Website und so echt klasse. Daumen hoch :-)
    Man hört bestimmt mal wieder voneinander^^

    cya

  • Corina: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi,

    ich hätte eine Frage bei Min. 13 verstehe ich nicht wieso man aus den Brüchen u'(x) bzw. v'(x) wird?

    lg Corina

  • Corina: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Danke!

    Ich hätte da gleich noch eine Frage: wenn ich jetzt eine Aufgabe habe zB 1/x die ich mit Hilfe des Differenzialquotienten berechnen will.
    Dann brauche ich doch jetzt nur stur für u und v, 1 bzw x einsetzten und dann müsste die Ableitung davon rauskommen?
    Das habe ich auch probiert und es geht auch, aber geht das denn immer?

  • Olaf: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Corina,
    Du willst jetzt die Ableitung von 1/x mit dem Differenzenquotienten ausrechnen oder mit der Quotientenregel - weil beim Differenzenquotienten kommt ja kein u und kein v vor.
    Generelle Antwort - Du kannst jeden Bruch auch mit der Quotientenregel ableiten - im Falle von 1/x würde ich aber empfehlen, den umzuschreiben als eine Potenz mit negativem Exponenten x^-1 und das dann mit der Potenzregel ableiten...
    Hoffe, das beantwortet Deie Frage
    LG
    OLaf

  • Laura: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Wieso fällt bei min. 13:03 das Minus einfach weg?
    Lg

  • Olaf: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Laura,
    ich hab mir die Stelle grad noch mal angeschaut und konnte gar nicht feststellen, dass da ein Minus wegfällt... Meinst Du im Zähler oder im Nenner?
    LG
    OLaf

  • Laura: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    man klammert ja kurz vor dem Ende -u(x) aus und dadurch steht ja in der klammer * (-v(x)-v(x+h) und das eine minus wird dann einfach weggewischt, kurz bevor anstatt dessen v'(x) für den ganzen Term hinschreiben und ich verstehe nicht, wieso das einfach weggemacht werden kann?

  • Olaf: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Laura,
    alles klar, jetzt hab ich verstanden ;)
    Ein vereinfachtes Beispiel:
    Wenn ich aus
    x*3y-x*4z
    +x ausklammere, kommt raus:
    x*(3y-4z)
    Wenn ich aber -x ausklammern will, komme ich auf
    -x*(-3y+4z)
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Lariissa: 2 Jahre, 1 Monat alt.

    Also Danke erstmal für das tolle Video und die richtig gute Erklärung ich hab da nur ien Problem bei 2:25 wo das u(x+h)*v(x) weggekürzt wird ich verssteh einfach net wieso?
    Dankes cshonmal Lg

  • A.B.: 4 Monate alt.

    Video ist OberPrima!!
    Aber Frage: Wenn ich diese Herleitung mit Zahlen mache, mit 3x/x^2, gibt’s irgendwo eine Stelle wo ich Klammern setzen muss sowie bei; u(x+h)/v(x+h) ? Also zum Beispiel; 3(x+h)/(x+h)^2, wäre das richtig ? Fühl mich da mit Zahlen auf einmal unsicher während es mit den „Buchstaben“ ziemlich gut ging..

    LG
    Andy

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