Mathematik

Integral Wurzel a²-x²

Von Olaf Hinrichsen am 25. Juni 2008 veröffentlicht. Kommentare (15)

Bestimme das unbestimmte Integral von Wurzel aus (a²-x²) - sieht erst mal doof aus. Kann man aber auswendig lernen und kann dann Aufgaben wie: Bestimme das unbestimmte Integral von Wurzel aus (25-x²) lösen, sprich jedes Integral Wurzel aus (Quadratzahl minus x-Quadrat):

und hier ein Video, bei der die Substitution inklusive ist ;)

Und hier ist dann auch noch die Herleitung als One-Take:

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15 Kommentare

  • Michi: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Hi, warum ist denn Arcsin 1 = 0,5 ? Arcsin sind doch 90.

  • Olaf: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Hi Michi,
    danke für die Nachfrage - arcsin(1) sind 90° - und 90° sind 0,5*pi im Bogenmaß. Wenn mit x und sinus oder cosinus gerechnet wird, muss der Taschenrechner vorher in den RAD-Modus gestellt werden - dann kommt 1,570796327 raus für arcsin(1) und das sind 0,5 pi.
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Max: 3 Jahre, 3 Monate alt.

    Hi, muss man bei [.... + 2 sin^-1(x/2)] nicht noch die partietielle Integration anwenden?

  • Olaf: 3 Jahre, 3 Monate alt.

    HI Max,
    ich mach das hier ja an Hand der Vokabel, dass heißt das [.... + 2 sin-1(x/2)] was in den eckigen Klammern steht , ist bereits die komplette Stammfunktion und da muss nur noch eingesetzt werden...
    LG
    OLaf

  • Vize: 3 Jahre, 3 Monate alt.

    Hab´da eine nette Aufgabe für diese Problemstellung:
    Am Rand eines kreisrunden Gartens mit D=10m ist eine Ziege mit einem 3m langen Seil angepflockt. Welche Flaeche beweidet die Ziege?

  • Olaf: 3 Jahre, 3 Monate alt.

    Hi Vize,
    ist das so, ja?
    Ich würd das ja glatt mit der Kreisformel berechnen ;) aber wenn's auch so geht ;))
    LG
    OLaf

  • Vize: 3 Jahre, 3 Monate alt.

    hi olaf
    Ich meinte schon aus dem Garten!
    Also:
    g(x)=5-sqrt(25-x^2)
    h(x)=sqrt(9-x^2)
    g(x)=h(x) -> +/- 2.86...|0.9
    2(|G(x)-H(x)|0 bis 2.86...)
    usw.
    lg
    vize

  • Olaf: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Vize,
    jawoll - da merkt man wieder: Wer lesen kann ist klar im Vorteil ;) (in diesem Fall wäre ich im Vorteil gewesen, wenn ich den Garten nicht übersehen hätte - und vor allem den Gartenrand ;))
    LG und vielen Dank
    OLaf

  • Jodutz: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Wieso ist die Stammfunktion nicht:

    -1/3*x*(4-x^2)^(3/2)

    ?

  • Olaf: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Jodutz,
    fiese Antwort: Weil von Deiner Funktion die Ableitung nicht wieder die Ausgangsfunktion ist, sondern -1/3*(4-x^2)^(3/2)+x^2*(4-x^2)^(1/2)
    Aber mal nachgefragt, nach welcher Regel hast Du das berechnet?
    LG
    OLaf

  • Alfred J. Kwak: 2 Jahre, 11 Monate alt.

    Ähm,
    wie komm ich denn auf die schöne "Formel" für das Integral von Sqrt(a^2+x^2). Hab mich dadran mal versucht, bin aber kläglich gescheitert...
    Super service hier übrigens ;)
    Grüße

  • Olaf: 2 Jahre, 10 Monate alt.

    Hi Alfred,
    danke für den Hinweis - das werde ich mir demnächst (also ohne Zeitangabe ;) ) zu Gemüte führen...
    LG
    OLaf

  • Tom: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hallo olaf,
    aber wieso kann man das x^2 als sin^2 substituieren?

  • Olaf: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Hi Tom,
    erst mal eine platte Antwort: man kann grundsätzlich alles substituieren. Ob es sinnvoll ist (also zu etwas führt, zeigt dann hinterher die Berechnung...)
    Eine andere mögliche Antwort wäre: wenn x=sinz ist, und ich diese Gleichung quadriere kommt als Ergebnis x²=sin²z raus...
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

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