Integralrechnung - Überblick
am 29. November 2011 veröffentlicht. Kommentare (3)
Da die Begriffe Integral, Integralfunktion, Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion unterschiedlich definiert werden, ist in diesem Film herausgestellt, was alle Definitionen gemeinsam haben, damit du dir einen guten Überblick verschaffen kannst.
Eine Integralfunktion entsteht, wenn die obere Grenze eines bestimmten Integrals variiert. Anders gesagt: Jeder Zahl b auf der x-Achse, die größer als eine bestimmte Zahl a ist, wird ein Integral zugeordnet, dessen obere Grenze b ist. Das bestimmte Integral wurde definiert als die Fläche zwischen Graph und x-Achse (in den Grenzen von a bis b einer Funktion mit positiven Funktionswerten).
Die Ableitung der Integralfunktion ist die Ausgangsfunktion. Anders gesagt: Die Ableitung der Integralfunktion ist die Funktion f(x), deren Fläche zwischen Graph und x-Achse durch die Integralfunktion angegeben wird. Um das zu verstehen, brauchst du (fast) nur ein Schaubild mit einem kleinen Rechteck. Wie einfach das ist, kannst du im Film sehen. Diese Idee reicht auch schon im wesentlichen aus, um den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zu beweisen.
Hier wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung so erklärt, dass du auf einen Blick sehen kannst, warum er richtig ist. Und dafür braucht man nur unwesentlich mehr als ein paar Papierstreifen. In Worten ausgedrückt klingt das alles schon etwas umständlicher: Je stärker die Flächeninhaltsfunktion steigt, desto größer müssen die Werte der Ausgangsfunktion sein. Verallgemeinernd ist also die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion die Ausgangsfunktion. Das ist die Kernaussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Nachdem man weiß, dass die Ableitung der Integralfunktion die Ausgangsfunktion f(x) ergibt und das bestimmte Integral direkt als Fläche definiert wurde, ist der Beweis des Hauptsatzes kein Problem mehr. Denn das bestimmte Integral ist so gesehen nichts anderes als die Integralfunktion. Die wiederum ist eine Stammfunktion von f(x). Wir müssen uns nur noch überlegen, welche Stammfunktion es ist: Es ist die Stammfunktion, die an der linken Integrationsgrenze gleich 0 ist. Fertig ist der Beweis. Im Film kannst du diesen Gedankengang ausführlicher verfolgen.
Hier geht es zum Beitrag "Bestimmte Integrale - Beispiele
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Und hier geht es zum Beitrag "Bestimmtes Integral und Flächeninhalt - Beispiele
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Hier geht es zum Beitrag "Integration durch lineare Substitution
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Hier geht es zum Beitrag "Partielle Integration - Produktintegration - Beispiele
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Es gibt drei Möglichkeiten der Integration durch Substitution. Den "ganz einfachen" Fall, nämlich den der Integration durch lineare Substitution findest du in dem Beitrag Integration durch lineare Substitution
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Der "einfache" Fall der Integration durch Substitution, nämlich die Integration von Funktionen der Form f(g(x))*g'(x) wird in dem Beitrag Integration durch Substitution
besprochen.
Der meist als etwas komplizierter empfundene Fall der Integration durch Substitution der Integrationsvariable wird in dem Beitrag Integration durch Substitution der Integrationsvariable
besprochen.
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3 Kommentare
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Hallo Martin,
wieso kommt in deinem ersten Video ein Strich an das (F(x))? Also (F(x))'?
Zusätzlich würde ich noch gerne wissen:
Ist die FUnktion f ' ' (x) die/eine Stammfunktion von f ' ' ' (x) bzw. f ' (x) die Stammfunktion von f ' ' (x)?
Mit freundlichen Grüßen,
Thomas
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Hallo Thomas,
im ersten Video habe ich erklärt, dass eine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) eine Funktion ist, deren Ableitung gleich f(x) ist. Also: Wenn man F(x) ableitet, also (F(x))' bildet, erhält man f(x).
Die Funktion f ' ' (x) ist eine Stammfunktion von f ' ' ' (x) und f ' (x) ist eine Stammfunktion von f ' ' (x).
Super Hilfe! Danke!