Mathematik

Kettenregel - Anwendung auf eine e-Funktion

Von Olaf Hinrichsen am 20. Mai 2008 veröffentlicht. Kommentare (49)

Die Ableitung einer e-Funktion, bei der im Exponenten nicht nur ein x steht, kann man nur mit der Kettenregel lösen. Dazu diese beiden Videos: Ganz am Ende des Videos kommt die Formel für die doppelte Verkettung. Hinweis von Dr. Miyamoto: "ganz am Ende ... im ersten Video, bei der uvw-Regel, ist leider ein Fehler: Wenn man u(v(w(x))) nach x ableitet, erhält man u’(v(w(x))) * v’(w(x)) * w’(x)" Vielen Dank an Herrn Dr. Miyamoto!

Kettenregel Ableitung: Übersichtsseite

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3 Mitglieder haben sich bisher bedankt.

49 Kommentare

  • ctb: 3 Jahre, 10 Monate alt.

    Gute erklärung zur Kettenregel!
    Vielen Dank!

  • Simon: 3 Jahre, 7 Monate alt.

    Ja,
    also ich muss sagen ich habe es auch verstanden(und ich tu mich wirklich schwer mit sowas:( ), bis du gegen Ende mit der uvw Geschihcte angefangen hast da wurde es ein bisschen unddurchsichtig!

    p.s. könntest du mir vielleicht ein paar Übungsaufgeben an meine email schreiben?
    das wär wirklich ne cool sache

    Danke sehr

    Hau rein

  • Olaf: 3 Jahre, 7 Monate alt.

    Hi Simon,
    mach ich gern! Ist auch schon unterwegs ;)
    Und zu der uvw Geschichte - das ist auch eigentlich erst was für nach den Übungsaufgaben ;))
    Da mach ich vllt. bei Gelegenheit oder auf explizite Nachfrage mal ein Video zu ;)
    LG
    OLaf

  • Inken: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Mal eine ganz blöde Frage - bei der Kettenregel muss man ja das U auch ableiten. Wieso machst du das nicht? Ich hätte jetzt gedacht, dass die Ableitung von e hoch tx tx mal e hoch tx - 1 ist.... oder lieg ich vollkommen verkehrt?

  • Olaf: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Hi Inken,
    das ist keine dumme Frage, sondern eine ganz berechtigte! "Die e-Funktion" bleibt sich beim Ableiten treu", also sieht bei der hier besprochenen Verkettung so aus, als würde der e-Teil nicht abgeleitet...
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Inken: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Aber eigentlich wird sie abgeleitet, ja? Sonst komm ich nämlich total in den Tüddel...

  • Olaf: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Jup,
    die wird auf jeden Fall abgeleitet!
    LG
    OLaf

  • Dr. R. Miyamoto: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Lieber Olaf,

    ganz am Ende von Ihrem Vortrag im ersten Video, bei der uvw-Regel, ist leider ein Fehler: Wenn man u(v(w(x))) nach x ableitet, erhält man

    u'(v(w(x))) * v'(w(x)) * w'(x)

    Ihnen fehlte also die innerste Ableitung.
    Derartige Fehler passieren schnell durch unzulässige Schreibweisen wie

    u(v(w(x)))'.

    Solch eine Schreibweise ist streng mathematisch unzulässig, weil ein Strich (') an einem Funktions-*Term* nicht klar angibt, nach *welcher Variablen* eigentlich abgeleitet wird. Sie wollten nach x ableiten, haben aber letztlich nach w abgeleitet.
    Die Kettenregel schreibe ich im Unterricht lieber in der korrekten Form

    (u o v)' = (u' o v) * v',

    wobei o (lies "Kringel") für die Verkettung von Funktionen steht.
    Korrekt wäre es auch zu schreiben

    f(x) = u(v(x)) => f'(x)=u'(v(x))*v'(x)

    Man darf eben den Strich streng genommen nur an Funktionen setzen, aber nicht an Funktionsterme.

    Liebe Grüße, Miy

  • Olaf: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    Sehr geehrter Herr Dr. Miyamoto,
    vielen Dank für Ihren Kommentar! Ich habe den Fehler vor dem Video im Text gekennzeichnet!
    LG
    OLaf

  • joe: 3 Jahre, 6 Monate alt.

    gute seite und gut erklärt! das, was sich jeder schüler wünscht!

  • Flo: 3 Jahre, 5 Monate alt.

    Hallo Olaf,

    ich hab mithilfe deiner Videos mehr verstanden als in den letzten 8 Wochen im Mathematikunterricht. Großes Lob und mach weiter so!

    Lg, Flo.

  • Fana: 3 Jahre, 5 Monate alt.

    Hey Olaf, vielen Dank für die Videos. Hab alle Ableitungsregel für die Uni (WiWi) wiederholt, weil das selbst nach Jahren von Matheabstinenz an der Uni als Grundwissen vorausgesetzt wurde. Vielen Dank nochmal, keep up the good work :)

  • nurdan: 3 Jahre, 4 Monate alt.

    hi olaf hab noch ne frage und zwar
    wie leite ich die funktion
    f(x)=2t*e^-0,02*t^2? muss ich bei der funktion kettenregel und produktregel verwenden?ich blick da irgendwie nicht durch...wäre echt nett wenn du mir helfen würdest...lg nurdan

  • Daniel: 3 Jahre, 4 Monate alt.

    Hi Olaf,
    danke für die tollen Erklärungen. Sitze hier nun jedoch an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Schreibe am Montag Klausur. Habe zwar die Lösung dazu nur komme ich einfach net drauf.

    f(x)= 3*x*e^-x+1 lautet die Aufgabe

    Meiner Meinung nach ist dann f´(x)= 1*e^-x+1 + 3 x (-1)

    In der Lösung steht was anderes nur komme ich eunfach net drauf. (Lösung zusammengefasst:3*e^-x+1*(1-x)

    Kannst du mir bitte meinen Fehler verraten werde hier noch verrückt.

    Vielen Dank LG

  • Olaf: 3 Jahre, 4 Monate alt.

    HI Daniel,
    f(x)= 3*x*e^(-x+1)
    f'(x)=3*e^(-x+1)+3x*(-e^(-x+1))
    zusammengefasst:
    f'(x)=3e^(-x+1)*(1-x)
    Bei Dir war glaub ich der Schnitzer: Ableitung von 3x=>1?
    LG
    OLaf

  • sunny29: 3 Jahre, 4 Monate alt.

    sie haben soeben mein morgiges mathe-referat über die eul'rische zahl gerettet!

  • peter: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    find ich gut
    danke =)

  • lore: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Hilfe, wie leite ich die hier denn ab:

    (x+2)*e^(-2x)

    ich hasse analysis!! :-(

    grüßle

  • leyla: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    hallo,
    wie würde ich die Funktion ableiten?

    x hoch 2 mal e hoch -x

    lg

  • Roman: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    hey olaf,
    ich find deine vidz voll cool, aber das beste daran sind deine zwischenkomentare =D
    geht ab und hilft weiter.. mich persöhnlich würde das gesicht zur stimme und zur hand interessieren, aber nujaa..

    weiter so ;) peace

  • Olaf: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Yo Roman,
    ;)
    Ich hab ein zwei Fotos auf facebook und auf studivz und auf xing ;) Kannst ja mal vorbeischauen oder bei google meinen Namen eingeben ;))
    LG
    OLaf
    P.S.: Hab grad selbst mal geschaut... also, die Bilder sind ziemlich alt... ;)

  • Sascha: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Olaf!

    deine Videos sind echt genial. Respekt, die helfen sehr so kurz vorm mündlichen Abitur ;-)

    nun hab ich nur ne Kleinigkeit nicht ganz verstanden. Und zwar gegen Ende vom ersten Video heißt es ja dann dass wenn man u(v(w(x))) nach x ableitet, man folgendes Ergebnis erhält:

    u’(v(w(x))) * v’(w(x)) * w’(x)

    Fehlt dann bei der Beispielaufgabe nicht das abgeleitete w'(x) oder wie ist das.

    f(x)=(e^tx-2t)²
    f'(x)=(e^tx-2t)*e^tx*t (fehlt hier nicht noch was)
    bin nur bisschen verwirrt weil du im video zu dem letzten Teil der Aufgabe (kurz bevor du die uvw geschichte erklärst) sagst, dass das eigentlich v'(w(x)) ist.. dann müsste, wenn ich das nicht falsch verstanden habe, das w'(x) hinten dran noch fehlen... ich hoffe du verstehst mein problem.

    schöne grüße und mach weiter so
    sascha

  • Olaf: 3 Jahre, 2 Monate alt.

    Hi Sascha,
    nee, das w'(x) ist das t ganz am Ende Deiner ersten Ableitung (bei der allerdings noch das 2* fehlt, das von der Ableitung der äußersten Funktion).
    Ansonsten im allgemeinen Teil der Ableitungsregel fehlt was, aber das steht schon über dem Video ;)
    LG
    OLaf
    P.S.: Und viel Erfolg beim Mündlichen!!

  • Denise: 3 Jahre alt.

    Ich liebe dich! XD

  • Gabbah: 3 Jahre alt.

    Ich bin deiner Meinung :D

  • Anne: 2 Jahre, 12 Monate alt.

    Hey Olaf,
    bei mir im Freundeskreis herrscht Krieg weil dich meine ganzen Freundinnen heiraten wollen. Du bist unser Held in der Not :D

    Liebe Grüße und Danke für die Kettenregel.
    Das ist der helle Wahnsinn was du hier machst. Bin in den letzten 24 Stunden nur hier auf der Seite für meine Klausur morgen.
    Kleiner Tipp: heirate mich, und nicht die andern ;)

  • Harald: 2 Jahre, 7 Monate alt.

    Ich finde die Seite super! Deine Erklärungen sind so gut.. Ich bin im Mathe Leistungskurs, verstehe soweit alles, aber jeder weiß, die kleinen Dinge machen das Leben zur Hölle.. Kettenregel.. Jetzt hab ich sie verstanden :)

  • Lynn: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    Olaf.
    Ohne dich -
    kann ich nicht.
    Ich widme dies einem weiteren mir bekannten Mathegenie (ja, du!) und nicht nur dir, oh wunderbarer Olaf.
    Love

  • Mineral_wasser: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    Mal sehen wie gut deine Erklärkünste ankamen wenn ich morgen dann Mathe schreib,zum schluss ;D vom obrigen Video,find das am ende mit dem U v w bisschen verwirrend. Wir haben des mit ä wie äußere und i wie innere gelernt also ä' mal i' und das ende macht mich da bisschen Kirre,aber trotzdem danke ;D

  • Alexander: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hey Olaf :)
    Ich bin am verzweifeln, ich finde nirgendswo so eine aufgabe.
    Ich soll die 1. Ableitung bilden.

    Es steht da e hoch e und an diesem e ist noch ein x also sprich : e hoch e hoch x

    wie komm ich da aufs ergebnis ?

    lg

  • Olaf: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hallo Alexander,
    vielen Dank für Deinen Input - die Aufgabe wird auf jeden Fall auch noch verfilmt (da kann ich wie immer nur schlecht sehen, wann das der Fall sein wird ;)) Deshalb aber an dieser Stelle ein hoffentlich nachvollziehbares pdf: http://www.scribd.com/doc/23773267/File-0501
    LG
    OLaf

  • abc: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Ich brauche hile zur aufgabe f(x)=e^(2x)+2e^-x
    die lösung dazu idt f´(x)=4e^(2x)-2e^-x. ich weis nicht wie dadrauf kommt. auch mit der kettenregel konnte ich die aufgabe nicht lösen.

  • Olaf: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Hi abc,
    kannst Du mir dazu vielleicht sagen, wo für Dich der Haupthaken ist?
    Vielleicht ist es ja nur die falsch angegebene Lösung...
    In Wirklichkeit ist die Ableitung nämlich:
    f'(x)=2e^2x-2e^-x
    Ein Tipp: Du kannst auch die einzelnen Bestandteile der Funktion erst mal so zerlegen:
    f(x)=e^(2x)+2e^-x
    e^2x muss ja mit der Kettenregel gelöst werden und 2e^-x auch (also schon mal 2 Kettenregeln)
    bei e^2x ist
    u=e^v und v=2x
    damit sind u'=e^v und v'=2
    In die Kettenregel: [u(v)]'=u'(v)*v' eingesetzt, ergibt sich:
    2e^2x...
    Dasselbe mit 2e^-x gemacht (aber die 2 bleibt hier einfach stehen, wie bei der Ableitung von 3x^4 -> 3*4x^3)
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Jasmin: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    Hey,diese Videos sind wirklich sehr hilfreich-
    Koenntest du mir vlt. bei diesen Thema helfen :

    Integration von verketteter Exponential Funktion durch Substitution der Kettenregel ?

    Es waere so super !
    Danke schonmal im vorraus

  • Sara: 2 Jahre, 1 Monat alt.

    hallo..
    ich schreib am dienstag eine klausur zum thema integralrechnung und mache grad ein paar übungsaufgaben.

    was tue ich denn,wenn bei einer gleichung keine grenzen angegeben sind?

    also z.b.: f(x)= -1/2x² + 9/2
    g(x)= 5/4x
    diese sind gegeben und dazu eine zeichnung im koordinatensystem, indem aber keine zahlen auf der x- und der y-achse vorhanden sind.
    nun soll der inhalt einer schraffierten fläche berechnet werden, aber wie komme ich jetzt auf meine grenzen?

  • Julia: 2 Jahre alt.

    Ich hab eine Frage: wie muss ich z.B 2^x ableiten oder 2^x+2 ?

  • Tessa: 1 Jahr, 8 Monate alt.

    Hallo Olaf !

    Ich brauche unbedingt mal deine Hilfe !!!
    Ich verstehe nicht wie ich bei e-Funktionen mit einem Bruch die Ableitungen (1-3) machen kann.
    Funktion:
    f(x)= 4*e^1/4x^4
    [Gesprochen: vier mal e hoch ein-viertel x hoch 4]

    Ich bitte um eine schnellst mögliche Antwort.

    DANKE

    Ps: Ein ganz großes Lob an deine Videos, die sind richtig gut und sehr Verständlich.

  • Olaf: 1 Jahr, 8 Monate alt.

    Hi tessa,
    das läuft wie im ersten Video
    f(x)= 4*e^(1/4x^4)
    f'(x)=4*e^(1/4x^4)*x³
    Die 4 bleibt stehen (wegen der Faktorregel)
    e bleibt sich treu
    und die Ableitung von 1/4x^4 ist x³ und wird nach der KEttenregel "hinten ranmultipliziert"

    Für die nächsten Ableitungen brauchst Du dann aber eine kombinierte Produkt- und Kettenregel: http://www.oberprima.com/index.php/e-funktion-ableiten-produktregel-und-kettenregel/nachhilfe
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf
    P.S.: Kannst gern Deine weiteren Ergebnisse in das Kommentarfeld schreiben ;)

  • Tessa: 1 Jahr, 8 Monate alt.

    Ja, danke schön das hat mir echt weiter geholfen.
    Ich hoffe nur ich habe das jetzt auch richtig verstanden bzw umgesetzt.
    Das habe ich bei der 2. und 3. Ableitung heraus bekommen.

    f''(x)= 4*e^1/4x^4*x^3 * (4-1/4x^4*3x^2)
    f'''(x)= 4*e^1/4x^4*x^3 * (4-1/4x^4*6x)

    Vielen Dank für deine Hilfe

    lg Tessa

  • Tessa: 1 Jahr, 8 Monate alt.

    i.wie komme ich nicht weiter...
    was ich von der 3.Ableitung bisher raus habe finde ich sieht sehr falsch aus.
    Also:
    u'(v(w(x)))*v'(w(x))*w'(x)
    [lautet die Formel die ich verwenden muss später, (oder?)]
    u: e^x u': e^x
    v: 1/4x^4 v': x^3
    w: 4x^6+12x^2 w': 24x^5+24x
    Einsetzen in die Formel:
    e^1/4x^4 * (4x^6+12x^2) * (4x^6+12x^2)+ e^1/4x^4 * (24x^5+24x)
    Zusammengefasst:
    e^1/4x^4 * (4x^6+12x^2)^2 + (24x^5+24x)

    ist das nun richtig?

    Nochmals DANKE für deine Hilfe!!!

    Tessa

  • Tessa: 1 Jahr, 8 Monate alt.

    i.wie komme ich nicht weiter...
    Das was ich bei der 3.Ableitung raus habe sieht sehr falsch aus.
    Formel: u'(v(w(x)))*v'(w(x))*w'(x)
    (ist die überhaupt richtig?)
    u: e^x u': e^x
    v: 1/4x^4 v':x^3
    w: 4x^6+12x^2 w':24x^5+24x

    Einsetzen:
    e^1/4x^4 * (4x^6+12x^2) * (4x^6+12x^2) + e^1/4x^4 * (24x^5+24x)
    Zusammengefasst:
    e^1/4x^4 * (4x^6+12x^2)^2 * (24x^5+24x)

    ???

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