Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 3 - ganzrationale Funktion

Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 3 Teil 1

In diesem dritten Beispiel einer Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) der ganzrationalen Funktion f(x) = x^3+5x^2+3x-9 wird auf allgemeine Erklärungen zu den verwendeten Methoden verzichtet. Statt dessen wird das Beispiel zügig durchgerechnet. Da eine ganzrationale Funktion immer für alle reellen Zahlen definiert ist, ist der Punkt "Definitionsbereich" schnell erledigt. Der Funktionsterm enthält gerade und ungerade Exponenten und ist deshalb werder achsensymmetrisch zu y-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (Nullpunkt). Eine solche Symmetrie ist also nicht vorhanden. Das Verhalten im Unendlichen (Globalverlauf) einer ganzrationalen Funktion richtet sich nach dem Summanden mit dem höchsten Exponenten. Dieser ist x^3. Die Kenntnis des Verlaufs des Graphen von x^3 wird hier vorausgesetzt. Die y-Koordinate des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse erhält man, indem man 0 in den Funktionsterm einsetzt.

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Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 3 Teil 2

Es fehlen noch die Schnittpunkte mit der x-Achse, also die Nullstellen. Dazu wird der Funktionsterm gleich 0 gesetzt. In diesem Fall muss meine eine Nullstelle raten - es ist x=1 - und dann die Polynomdivision mit (x- Nullstelle), also mit (x-1) durchführen. Man erhält dann einen quadratischen Term und muss noch die Nullstellen dieses Terms bestimmen. Das geht mit der p-q-Formel. Man erhält allerdings nur eine weitere Lösung, da die Diskriminante - also das, was unter der Wurzel steht - gleich 0 ist.

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Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 3 Teil 3

Zunächst werden die Ableitungen gebildet. Dazu braucht man die Summenregel, die Faktorregel und die Potenzregel. Die Extrempunkte der Funktion kann man mit den ersten beiden Ableitungen bestimmen. Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt lautet: Nur an einer Nullstelle der ersten Ableitung kann sich ein Extremum befinden. Deshalb bestimmt man die Nullstellen der ersten Ableitung. Das geht mit der p-q-Formel (oder auch einer anderen Formel, mit der quadratische Gleichungen gelöst werden können). Die hinreichende Bedingung für Extrema lautet: Wenn an einer Stelle auf der x-Achse die erste Ableitung gleich 0 ist und an derselben Stelle die zweite Ableitung ungleich 0 ist, dann befindet sich an dieser Stelle ein Extremum. In diesem Film ist diese Bedingung für die erste Nullstelle der ersten Ableitung erfüllt. Um den y-Wert des Extremums zu bestimmen, wird die gefundene Extremstelle in die Ausgangsfunktion f(x) eingesetzt.

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Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 3 Teil 4

Wie im vorhergenden Film wird mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung das zweite Extremum bestimmt. In diesem Fall ist es ein Hochpunkt. Die Wendepunkte werden mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung für Wendepunkte bestimmt. Die notwendige Bedingung lautet: Nur an einer Nullstelle der zweiten Ableitung kann sich ein Wendepunkt bestimmen. Die hinreichende Bedingung besagt: Ist an einer Nullstelle der zweiten Ableitung die dritte Ableitung ungleich 0, dann befindet sich an dieser Stelle ein Wendepunkt.

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Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 3 Teil 5

Im letzten Teil dieser Kurvendiskussion wird das Monotonieverhalten der Funktion untersucht. Da die Ableitung eine nach oben geöffnete Parabel ist, die zwei Nullstellen hat, ist die Ableitung links und rechts der Nullstellen positiv und dazwischen negativ. Daraus folgt, dass die Ausgangsfunktion links und rechts dieser Nullstellen steigt und zwischen den Nullstellen fällt. Wenn die Informationen aus der gesamten Kurvendiskussion zusammenträgt, erhält man einen guten Eindruck vom Verlauf des Graphen und kann ihn problemlos zeichnen.

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