Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 - ganzrationale Funktion
am 27. Januar 2012 veröffentlicht. Kommentare (2)
Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 Teil 1
Die Funktion f(x) = x^4-5x^3+6x^2+4x-8 wird untersucht. Am Anfang der Betrachtungen steht wie immer der Definitionsbereich. Dieser besteht aus allen reellen Zahlen. Manchmal wird bei ganzrationalen Funktionen (also wie bei diesem Beispiel) der Definitionsbereich auch gar nicht erwähnt. Wenn du das in der Schule also nicht gemacht hast, besteht kein Grund zur Sorge. Der nächste Punkt - die Symmetrie, ist ebenfalls schnell erledigt, denn weil diese ganzrationale Funktion gerade und ungerade Exponenten hat, ist sie weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zu Koordinatenursprung. Das Verhalten im Unendlichen (Globalverlauf) ergibt sich bei dieser Funktion aus dem Verhalten von x^4, da dies der Summand mit dem höchsten Exponenten ist. Damit gehen die Funktionswerte gegen "plus unendlich", egal, ob x gegen "minus unendlich" oder gegen "plus unendlich" geht.
Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 Teil 2
In diesem zweiten Teil der Funktionsuntersuchung der Funktion f(x) = x^4-5x^3+6x^2+4x-8 wird zunächst das Verhalten der Funktion für x nahe 0 geklärt. (Wenn du das in der Schule nicht gemacht hast und du nicht mehr lernen möchtest als unbedingt nötig, kannst du diesen Teil überspringen.) Dieses Verhalten richtet sich nach dem Summanden mit der kleinsten Potenz von x und dem absoluten Glied (also dem Summanden ohne x - falls vorhanden). In diesem Beispiel verhält sich die Funktion f(x) für x nahe 0 wie 4x-8. Ab 1:27 geht es im Film um die Achsenschnittpunkte. Den Schnittpunkt mit der y-Achse erhältst du, wenn du den Funktionswert bei 0 ausrechnest. Ab 2:08 geht es im Video um die Schnittpunkte mit der x-Achse, also die Nullstellen. Weil es sich bei dieser Funktion um eine Funktion vierten Grades handelt, muss man zwei Nullstellen raten (oder am Graphen ablesen), diese durch Rechnung bestätigen und dann zweimal die Polynomdivision machen. Dann erhält man einen quadratischen Term, dessen Nullstellen mit der pq-Formel oder der abc-Formel bestimmt werden können.
Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 Teil 3
Es geht weiter darum, die Nullstellen der Funktion f(x) = x^4-5x^3+6x^2+4x-8 zu finden. Im letzten Film wurde durch (x-2) geteilt und da Ergebnis war ein Term dritten Grades, nämlich x^3-3x^2+4. In diesem Film wird dieser Term durch (x+1), also durch "x minus weitere bekannte Nullstelle" geteilt. Das Ergebnis ist ein quadratischer Term, dessen Nullstellen ab 4:10 mit der pq-Formel bestimmt werden. Ab 6:54 werden die ersten drei Ableitungen der Funktion gezeigt. Wenn du den Rechnungen nicht im einzelnen folgen möchtest und lieber mit dem Taschenrechner rechnest, kannst du die Teile, in denen ich etwas vorrechne, auch überspringen.
Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 Teil 4
Nun werden die Extrempunkte bestimmt. Dazu braucht man zunächst die Nullstellen der ersten Ableitung. Da die erste Ableitung den dritten Grad hat und man kein x ausklammern kann, muss man auch hier eine Nullstelle raten, diese durch Rechnung bestätigen und dann die Polynomdivision machen. So, wie der Graph aussieht, befindet sich bei x=2 ein Sattelpunkt. Die erste Ableitung wäre dann also gleich 0. Durch Rechnung kann man diese Nullstelle der Ableitung bestätigen. Dann teilt man den Funktionsterm der Ableitung durch (x-2) und erhält einen quadratischen Term, dessen Nullstellen man z.B. mit der pq-Formel oder mit der abc-Formel bestimmen. Als zweite Nullstelle der ersten Ableitung wird dann noch -1/4 gefunden.
Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 Teil 5
Um die Extrema (die Hoch- und Tiefpunkte) der Funktion herauszufinden, wird in diesem Teil der Funktionsuntersuchung die hinreichende Bedingung verwendet. Genau genommen gibt es zwei hinreichende Bedingungen: die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung und das Vorzeichenwechselkriterium (VZW). In diesem Film wird erst die Bedingung mit der zweiten Ableitung verwendet. Beim Einsetzen einer der Nullstellen stellt sich dann heraus, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist. Normalerweise sollst du unter diesen Umständen dann untersuchen, ob die Funktion an dieser Stelle einen Sattelpunkt hat. Ab 3:37 wird dieselbe Nullstelle (x=2) betrachtet, aber es wird das Vorzeichenwechselkriterium verwendet. Auch dieses Kriterium ist nicht erfüllt, woraus du in der Regel folgern sollst, dass sich an dieser Stelle ein Sattelpunkt befindet. Die Überlegungen für die weitere Nullstelle der ersten Ableitung werden im darauffolgenden Film gezeigt.
Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 Teil 6
Nun wird die zweite Nullstelle der ersten Ableitung betrachtet (x= -1/4). Mit der zweiten Ableitung wird überprüft, ob es sich um eine Extremstelle handelt - also ob sich bei x= -1/4 ein Minimum oder Maximum befindet (hinreichende Bedingung mit zweiter Ableitung). Da die zweite Ableitung an dieser Stelle größer als 0 ist, befindet sich dort ein Minimum (Tiefpunkt). Den Funktionswert des Tiefpunkts bestimmt, indem man -1/4 in die Ausgangsfunktion einsetzt - also indem man f(-1/4) ausrechnet. Das Ergebnis ist -2187/256. Ab 3:09 wird dann zur Untersuchung der Stelle x= -1/4 das Vorzeichenwechselkriterium (VZW) verwendet. Wie man durch das Einsetzen geeigneter Zahlen in die erste Ableitung herausfindet, ist die Ableitung links von -1/4 negativ und zwischen den beiden Nullstellen der Ableitung (und damit rechts von -1/4) positiv. Das heißt: Die erste Ableitung hat einen Vorzeichenwechsel von "- nach +" und hat demzufolge an dieser Stelle ein Minimum. Ab 5:53 wird dann noch geklärt, ob es sich um ein globales oder lokales Minimum handelt. Oder - wie man auch sagt - ob es sich um ein absolutes oder relatives Minimum handelt. Dazu wird erklärt, wie man grundsätzlich diese Arten von Minima (und auch Maxima) unterscheiden kann. (Das gleiche gilt natürlich auch für Hoch- und Tiefpunkte).
Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 Teil 7
In diesem Teil der Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) geht es um das AufFinden von Wendepunkten. Ein Wendepunkt kann sich nur dort befinden, wo die zweite Ableitung gleich 0 ist (notwendige Bedingung, notwendiges Kriterium). Deshalb werden als erstes die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt. Diese sindbeix=2 und x=1/2. Dann wird zunächst die hinreichende Bedingung für Wendepunkte mit der dritten Ableitung verwendet. Demnach werden die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung eingesetzt und wenn - wie bie der betrachteten Funktion - die Funktionswerte der dritten Ableitung ungleich 0 sind, befindet sich an diesen Stellen jeweils ein Wendepunkt. Danach werden noch die Funkitonswerte an diesen Stellen ausgerechnet. Anschließend wird das Vorzeichenwechselkriterum verwendet, um mögliche Wendepunkte zu bestimmen.
Kurvendiskussion (Funktionsuntersuchung) Beispiel 4 Teil 8
Im letzten Teil dieser Kurvendiskussion wird das Monotonieverhalten der Funktion untersucht und der Graph wird gezeichnet. Um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen, sieht man sich die Nullstellen der ersten Ableitung an. Ist ein Funktionswert der ersten Ableitung links der am weitesten links liegenden Nullstelle größer als 0, so gilt dies auch für alle weiteren Funktionswerte der Ableitung in diesem Bereich. Für die Ausgangsfunktion bedeutet das, dass sie in diesem Bereich überall steigend ist. Wenn die erste Ableitung links ihrer Nullstellen negativ ist, ist die Ausgangsfunktion in diesem Bereich fallend. Analog gilt das auch für den Bereich rechts der Nullstellen der Ableitung. Ist die erste Ableitung zwischen zwei Nullstellen größer als 0, ist die Ausgangsfunktion auf diesem Intervall überall steigend und ist die Ableitung zwischen zwei Nullstellen kleiner als 0, ist die Ausgangsfunktion fallend. Um den Graph zeichnen zu können, musst du nur die bisherigen Ergebnisse der Kurvendiskussion in ein Koordinatensystem bringen.
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2 Kommentare
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Im Teil 5 ist die gezeigte Ableitung NICHT die 2. Ableitung sondern die1. ! (Logischerweise kommt dann bei der ersten Ableitung 0 raus). Bitte prüfe das noch einmal in deinem Video, ansonten TOP!
Hallo,
ich danke sehr für die tolle erklärung. Jedoch sind die wiederholungen meiner meinung nach nicht nötig. es stört eher beim weiterlernen. wers noch nicht verstanden hat, kann ja das video nochmal anschauen. zudem könnte man bei der videobeschreibung gleich angeben, was in dem video berechnet wird. das wär nur ein kleiner kritikpunkt. ansonsten wirklich sehr sehr sehr toll erklärt! vielen dank!