Lagebeziehung Gerade Ebene in Koordinatenform
am 14. Mai 2008 veröffentlicht. Kommentare (48)
Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene, die in Koordinatenform gegeben ist.
Wenn die Ebenengleichung in Parameterform gegeben ist, dann kannst Du Dir in diesem Beitrag ansehen, wie man die Umwandlung vornimmt.
Aber jetzt zurück zum Thema der Lagebeziehung Gerade/Ebene in Koordinatenform.
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Olaf ist bei Google+, folge ihm! :)
48 Kommentare
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n1 danke
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danke dir!!!! Du hast mir richtig viel geholfen. Bei dir hab ich es in einer minuter verstanden!
DANKE !!!
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Hi,
eine Frage: Du setzt das, was du für r raushast in die Gleichung der Gerade g ein oder?
Ich habe mit meiner Rechnung, also durch einsetzen deiner Werte andere Zahlen für den Schnittpunkt raus.
Wenn ich -3/22 mal 4 rechne komme ich auf "-6/11", wenn ich mal 2 rechne auch auf "-3/11" und wenn ich mal -3 rechne auf "9/22".
Falls ich mich vertan habe, weiß ich nicht wo mein Fehler liegt.
PS.: Danke für diese tolle Seite.
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Super Videos hier, ich habe aber trotzdem eine kleine Frage zum Thema Lagebeziehung Gerade-Ebene.
Wie genau beweise oder überprüfe ich, wie auch immer, dass eine Gerade in der Ebene liegt?
Reicht es den Ortsvektor der Geradengleichung/Gerade in die Koordinatenform der Ebene einzusetzen?
Hoffe auf Antwort =)
Danke schon mal, und großes Lob an diese Seite =)
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Hi Daniel,
Setz das r mal in die Gleichungen für x= y= und z= ein, die ich unter die Geradengleichung geschrieben habe. Da steht für x=1+4*-3/22 und das sind 5/11
Du kannst es auch in die g:x=(1/0/1)+r(4/2/-3) einsetzen, da stehen die Koordinaten nur nicht ganz so übersichtlich ;)
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
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Hi Vanessa,
da musst Du die ganze Gerade in die Koordinatenform einsetzen, also wenn g:x=(1/1/1)+r(2/3/4) heißt und E:2x+3y+5z=9
dann setzt Du für das x ein: 1+2r und für y=1+3r und dann kann es drei Ergebnisse geben:
1. r=Zahl - dann hast Du einen Schnittpunkt
2. Zahl = eine andere Zahl, z.B. 7=9 - dann ist die Gerade parallel zur Ebene
oder
3. Zahl=die gleiche Zahl, z.B. 1=1 - dann sind die Ebene und die Gerade identisch und dann liegt die Gerade in der Ebene.
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
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Hey Olaf, danke hast es wieder sehr gut erklärt.
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Danke Olaf, hab's kapiert =)
Ist ganz simpel.
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HI Vanessa,
schön - da freu ich mich ;)
LG
OLaf
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hey olaf... ich schreib morgen abi, hab vorhin angefangen zu lernen. dank deiner genialen seite kann ichs jetzt !! i love you ;)
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haha marco,
so siehts bei mir auch aus.
olaf ist echt der MAC.
hab bei dir in nen paar stunden mehr gelernt als bei meinem alten stinker in zwei jahren abivorbereitung.
war da zwar immer im befriedigenden bereich, aber das war alles nur oberflächliches wissen.
jetzt fühle ich mich gut vorbereitet mittlerweie dank dir!
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So muss das sein...bei dem Tempo wird man nicht abgelenkt ;)
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Hey Olaf
schreib morgen Mathe, aber hab leider erst Heute deine Videos endeckt, die mir super weitergeholfen haben...
Mit deiner Art des Lehrens würde das Bildungssystem revolutioniert werden ...^^einfach genialVielen Dank Olaf und viele Grüße
Flo
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Hi Olaf du bist echt genial!
Schade dass du nicht mein mathe lk lehrer bist!Schöne Grüße
Ishrath
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hallo Olaf, ich habe eine Frage
man kann den Schnittpunkt als Vektor ( wie oben ) oder als Punkt angeben oder ?LG
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Hi Tzvetomir,
der Vektor (2/3/4) natürlich übereinander geschrieben zeigt vom Ursprung auf den Punkt A(2/3/4) - immer darauf achten, was genau gefragt ist und dann die entsprechende Form hinschreiben ;)
LG
OLaf
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Hey Olaf, erstma vielen dank für deine arbeit!
ich hab da mal eine frage, was ist wenn die koeffiztienten der Ebene in der Normalnform, die selben Zahlen sind wie der Richtungsvektor in der Gerade, liegen die dann parallel? bei einer aufgabe bekomm ich aber auch einen schnittpunkt raus.
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Hi Chris,
nee, dann stehen sie rechtwinklig zueinander, weil die Koeffizienten der Koordinatenform sind ja die auch die Koordinaten des Normalenvektors - und der Normalenvektor steht ja immer senkrecht auf der Ebene.
Hab ich was anderes in dem Video gesagt?
LG
OLaf
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ahhhh ok vielen dank!
und noch eine kleine frage^^
wie erkenne ich ob eine gerade parallel zur ebene ist?
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Yo Chris,
wenn der Normalenvektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden steht (also, wenn das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 0 ergibt), dann sind Ebene und Gerade parallel.
Da gibt's auch noch was Feines - aber das gibt's ganz demnächst als Video ;)
LG
OLaf
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huhu...
finde die seite echt super toll!
hab am freitag voraussichtlich mathe abi mündliches also!
wollte mal fragen wie es ist wenn man die lagebeziehung von gerade und ebene i parameterform angeben muss?glg
madiha
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Hi Madiha,
hoffe, Du hast dieses Video in den "verwandten Videos" noch gefunden: http://www.oberprima.com/index.php/lagebeziehung-gerade-ebene-in-punktrichtungsgleichung/nachhilfe
Leider konnte ich nicht früher antworten...
LG
OLaf
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Oh du gott du. Was hätte ich bloß ohne dich getan.
Vielen dank.
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du bist die rettung in der not!
echt klasse! vielen dank!
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Hallo Olaf.
Ich stehe in der Mathematik richtig auf dem Schlauch. Deshalb bitte ich dich um ein wenig Hilfe:
Eine Autovermietung bietet füreinen PKW zwei Tarife an:
Tarif A: 100km kosten 110€, 200km kosten 155€
Tarif B: 0,65€/km und 35€ Grundgebühr.a) Berechnen Sie für Tarif A die Grundgebühr und die Kosten pro km.
b) Geben Sie für die beiden Tarife jeweeils die zugehörige Funktionsgleichung an und zeichenen Sie die Graphen in ein passendes Koordinatensystem.
c) Ermitteln Sie rechnersch, für welche Fahrstrecke in km Tarif A gänstiger ist und für welche Tarif B.
Ich danke dir im Vorraus.
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Hej Eugen,
die Frage hat ja wenig bis nichts mit dem Beitrag:
Lagebeziehung Gerade Ebene in Koordinatenform zu tun.
Ich hab Deine Aufgabe abgewandelt und daraus diesen Beitrag gemacht: http://www.oberprima.com/index.php/sachaufgabe-lineare-funktionen-autovermietung/nachhilfe
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
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oh mann, ich muss sagen trotz Tempo im Umgang mit der Erklärung, bin ich wunderbar mitgekommen und habe es sogar verstanden. Ich schreibe morgen ne Matheklausur....und bin sooo blöd...wirklich; und im letzen Augenblick (jetzt) stoß ich auf deine Videos .... DANKE!
ich hab die volle Hoffnung, dass das morgen mal 9 Punkte werden oder mehr als 5 !
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Gutes Video, aber was passiert wenn die Ebene und Gerade sich gar nicht schneiden? Woran erkenne ich das dann?
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Hej Tobi,
das kommt im zweiten Video vor - aber ich werde auf Grund Deiner Anregung (vielen Dank dafür) auch noch zwei Videos zu Parallelität und Identität aufnehmen und hier in diesen Beitrag stellen...
Für Parallelität: in dem Fall ist das Skalarprodukt von Normalenvektor mal Richtungsvektor =0 und wenn man die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt kommt am Ende heraus: Zahl= andere Zahl, also z.B. 3=5
Für Identität: das Skalarprodukt Richtungsvektor mal Normalenvektor ist =0 und zusätzlich kommt bei Einsetzen der Gerade in die Ebene heraus Zahl=gleiche Zahl, also z.B. 5=5
Hoffe, das hilft Dir schon mal weiter
LG
OLaf
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das klingt verdammt logisch! :o
das mit der parallelität und dem skalarprodukt kann ich mir doch auch so erklären, dass die 0 dadurch zustande kommt weil die gerade senkrecht aufeinanderstehen und dann irgendwie zwischendrin ein rechter winkel entsteht, oder wie ist das?
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Hej Tobi,
exakt so ist das! Senkrecht heißt ja "bildet einen Winkel von 90° miteinander - und weil der Normalenvektor auch noch senkrecht auf der Ebene steht, sind Gerade und Ebene parallel (oder identisch - da kommt dann noch der Ortsvektor mit ins Spiel, ob der auf der Ebene liegt (identisch) oder nicht (parallel))
LG
OLaf
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gutes Video, und 10000000mal verständlicher als unser echter matheunterricht. Aber eine FRage hat sich bei mir ergeben, als ich die Lagebeziehung mit der GEradenschar rekapituliert habe: ICh habe rausbekommen, dass wenn a=-23 ist, verläuft die GErade parallel zu der Ebene. KAnn das sein, und wenn nicht, warum nicht?
würde mich sehr über baldige ANTwort freuen,
schöne Grüße und weiter so!
jette.
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Hej Jette,
wenn die Geradenschar und die Ebene parallel sein sollen, dann muss ja der Faktor r wegfallen und es muss sich danach eine nicht wahre Aussage einstellen (also das 0=3 im Beispiel...)
Wenn man jetzt für a=-23 einsetzt in diese Form der Gleichung:
r(-20-a)=3
r(-20+23)=3
3r=3
r=1
ergibt sich also ein Schnittpunkt...
Kannst Du mir da evtl. noch mal Deine Rechnung zeigen, dann kann ich besser auf Deine Rechnung eingehen...
LG
OLaf
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Hallo
ich habe eine ganz kurze frage
du lässt irgendwann einfach die 0 wegfallen
geht das einfach so ??
weil eigentlich bleibt es dann doch +2r und das ergebniss wird ganz anders
LG Maike
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Hi Maike,
meinst Du beim ersten Video bei 0:48?
Da steht ja -(0+2r) in der Klammer kann man ja ausrechnen, dass 0+2r=2r sind und dann steht da aber noch das Minus vor der Klammer und das dreht alle Vorzeichen in der Klammer um..., also -(+2r)=-2r... dazu hier einmal ein Link: http://www.oberprima.com/index.php/gleichung-mit-summen-und-differenzen-in-klammern/nachhilfe
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
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Echt klasse dass sich jemand so für Mathe begeistern kann und verzweifelten Menschen auf einfache Weise erklärt, was sie wissen wollen.
Deine Videos haben mir echt schon oft den Hintern gerettet!
Tausend Dank!
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Hey^^
zunächst einmal ein großes Lob an dich. Die Seite ist einfach göttlich. So wie du es erklärst verstehe ich es sogar^^
Nun zur Frage: Wenn ne Gerade parallel zur Ebene sein soll, dann sind die Vektoren (RV und NV) orthogonal zueinander. Das gilt doch auch für ne Gerade, die in der Ebene liegt,oder? wenn ich den Wert für den Parameter a, für den gilt g von a liegt in der Ebene, rausfinden muss, wie gehe ich dann vor? War das der richtige Anhaltspunkt?LG
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Hi Rania,
"Wenn ne Gerade parallel zur Ebene sein soll, dann sind die Vektoren (RV und NV) orthogonal zueinander. Das gilt doch auch für ne Gerade, die in der Ebene liegt,oder?"
Ja ;)
"wenn ich den Wert für den Parameter a, für den gilt g von a liegt in der Ebene, rausfinden muss, wie gehe ich dann vor?"
Dann steckt da a vermutlich entweder in dem OV von g oder der OV liegt schon in E und das a ist im RV von g
Hast Du dazu ne konkrete Aufgabe?
LG
OLaf
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Hey,
Gegeben sind die Ebene E durch die Punkte A(1/2/2), B (2/2/0) und C(1/3/-3) sowie die Geradenschar
ga:Vektor x = (2/1/3) + r (a/1/1).Bestimmen Sie die Werte von a, für die gilt: ga liegt in E.
Mein erster Gedanke war es, E und ga gleichzusetzten, sodass ich irgendwie eine wahre aussage rausbekomme, die eig. unabhängig von r sein müsste. Mein zweiter Gedanke war das mit dem NV.
Und ehrlich gesagt, bin ich nirgends weitergekommen.
LG
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Hi Rania,
das ist auch wirklich gemein...
wenn Du das mit dem Normalenvektor machen willst, dann gehe ich mal davon aus, dass Du die Ebene in die Form:
E:2x+5y+z=13
ungewandelt hast...
Wenn Du jetzt den NV und den RV anschaust - dann muss ja gelten, dass NV*RV=0 ist...
also (a/1/1)*(5/1/1)=2a+6
und 2a+6=0 ergibt a=-3
wenn Du jetzt dieses a in g einsetzt und dann g in E kommst Du auf
2(2-3r)+5(1+r)+3+r=13
12=13
und damit steht fest, dass g nicht in E liegen kann...
Man hätte auch gleich schauen können, ob denn der OV von g in E liegt (das ist nicht der Fall - und dann hätte man sich den rest sparen können...)
Hoffe, Du kannst damit was anfangen - wenn nicht mach ich da auch gern ein Video zu - das kann unter Umständen morgen klappen und wenn#s morgen nicht klappt, dann wird's ein Weilchen dauern...
LG
OLaf
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Hallo, deine videos habe ich gut verstanden nur meine aufgabe ist etwas anders.
ich habe eine geradengleichung:
g1: x = (8/0/9)+r(3/-2/1)
und ich soll die durchstoßpunkte bestimmen bei der xy-ebene, xz-ebene und yz-ebene.
die koordinaten für die xy-ebene lautet ja Z=0jetzt kann ich nicht wie du in der aufgabe x,y,z einsetzen sondern nur z.
das habe ich gemacht, dann kommt bei mir raus
r = -9
r habe ich dann in die geradengleichung eingesetzt und dabei kommt folgender punkt raus (-19/18/0)
ist das richtig?
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Sauber! Das obere Video besticht durch seine Knackigkeit! Das solltest Du mE aufteilen, eine Kategorie für ausführliche Videos und eine Kategorie mit griffigen für Leute, die schon im Thema drin sind und nur nen Kniff noch brauchen! VG
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Hi Cinek,
absolut korrekte Vorgehensweise! ;)
Dazu vielleicht auch noch interessant: http://www.oberprima.com/index.php/spurpunkte-und-spurgeraden/nachhilfe
LG
OLaf-
Hallo Olaf,
nun weiß ich bei einer Aufgabe in Bezug auf das 2. Video nicht weiter.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Gegeben sind dei Geradenschar:
ga: x= (1/ 0/ 3) + s (a/a^2/2)
E: 2x1*x2-4x3=7
a) Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die zugehörigen Geraden ga parallel zur Ebene E sind. Welchen Winkel schließen diese beiden Geraden ein?
b) Zeigen Sie, dass keine Gerade der Geradenschar ga orthogonal zu E ist
c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E2, die die Geraden g-1 und g1 enthältich kenne meinen Normalenvektor, das ist (2/1/-4) und weiß, dass der Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor sein muss, damit die Gerade parallel zur Ebene verläuft...
Aber wie gehe ich nun weiter vor?
Danke schon einmal ;)
LG
Sonja-
hi sonja,
ja, da muss was bei der ebene verrutscht sein ;)
neue aufgaben passen tatsächlich besser ins forum: http://oberprima.com/groups/mathematik/forum/
zu deiner eigentlichen frage hab ich hier einen anreiz: http://oberprima.com/mathenachhilfe/vektorgerade-soll-ebene-identisch-parallel-oder-schneidend-sein/
und zu dem problem mit der parallelität:
du nimmst das skalarprodukt von normalen und richtungsvektor und setzt es gleich null:
(2/1/-4)+(a/a^2/2)=0
ergibt:
2a+a²-8=0
das löst du mit der pq-formel nach a auf und dann hast du die lösung oder die zwei lösungen oder keine lösung ;)
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
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Hey,
Danke für das Video hat mir zum Verständniss echt geholfen.
Aber mal noch eine Frage:Bei mir ist eine Ebenenschar und eine Geradenschar gegeben :
x= (1|1|0) +t * (1|2|a) (Geradenschar);
2x + 4y +5z =b (Ebenenschar)Jetzt soll ich ich den Wert für a bestimmen, dass die Gerade die Ebene orthogonal schneidet. Das habe ich soweit hinbekommen, da der man den Normalenvektor der Ebene (2|4|5) bestimmen kann und dieser somit dem Richtungsvektor der Gerade entsprechen muss bwz ein Vielfaches sein muss. Also müsste a = 2.5 ssein, richtig?
Danách soll ich den Schnittpunkt berechnen.Dabei habe ich wie du es oben beschrieben hast die einzelnen Teile der Geraden in die Ebenengleichung eingesetzt und 2*(1+t) + 4*(1+2t) + 5*(2.5t) = b erhalten. ab diesem Punkt komme ich nicht weiter da ich das b nicht berechnene kann. Normal müsste man ja einfach einen Punkt der Ebene ind die Koordinatenform einsetzten und hätte das Ergebniss, aber ich finde dafür keinen Punkt.
Kannst du mir dabei evtl helfen?Danke im vorraus Christoph
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Hey, alles korrekt soweit - ich bin mir sogar fast sicher, dass Du das Ergebnis schon vor Dir hast - die letzte Gleichung löst Du nach t auf und erhältst einen Ausdruck mit b - den setzt Du in die Gerade ein und erhältst einen Punkt, der halt abhängig von b ist - sozusagen eine Punktschar (oder auch Gerade ;))
LG
OLaf
Hi Olaf,
ich bin es wieder :P
Danke danke für deine Hilfe!!!
Rein zufällig hatte ich im mündlichen Abitur die Frage nach der Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene. Durch dich konnte ich die Frage souverän beantworten, ich danke dir echt du hast mir so sehr geholfen!!!
P.S. es war eine 2+ ^^"
Danke nochmal, und mach weiterso, einfach klasse deine Hilfe und die Seite!!
Schöne Grüße
Chris