Mathematik

Mittlere Änderungsrate

Von Olaf Hinrichsen am 25. März 2009 veröffentlicht. Kommentare (77)

Die mittlere Änderungsrate bezeichnet die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion. Manchmal wird sie auch als mittlere Abnahmerate oder Durchschnittssteigung oder Sekantensteigung genannt, aber sieh selbst:

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5 Mitglieder haben sich bisher bedankt.

77 Kommentare

  • David: 3 Jahre alt.

    Super erklärt, danke :)

  • Maurice: 2 Jahre, 12 Monate alt.

    wesentlich besser als meine lehrerin =) danke

  • Alex: 2 Jahre, 11 Monate alt.

    Hahaaaa ich habs verstanden :D

  • Jon: 2 Jahre, 11 Monate alt.

    hallo Olaf,

    kurze Frage,wie kommt man drauf,das die Ableitung von f(x)= x²+2x = f'(x)= 2x+2 ist?

    Habe versucht die Ableitung mit der H-methode auszurechnen,komme aber auf ein anderes Ergebnis.
    So sieht mein Term aus:

    (x+h)² - 2(x+h) - (x²+2x) : h =

    x²+2xh+h² - 2x-2h - x²-2x : h....usw

    siehst du da schon einen fehler in meinem Term?
    Könntest du mir evtl. deine Version mal aufschreiben,das wäre sehr nett

    gruß,Jon

  • Daniel: 2 Jahre, 9 Monate alt.

    Saubere Arbeit! Hast mir wieder mal den Ar*** gerettet! VIELEN DANK! Hoffe deine Videos helfen mir später auch nochmal!

    Gruß Daniel

  • christin: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    hallo!
    ich hab da mal ne frage und zwar hab ich folgende funktion:
    0,16t im zähler
    (t+2)hoch2 im nenner
    von dieser funktion soll ich die anfängliche änderungsrate berechnen und die mit der mittleren änderungsrate in den ersten 6 minuten vergleichen. aber da ich ja keine punkte hab wie im video bin ich ratlos..
    kannst du mit helfen?

  • Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Hej Christin,
    die anfängliche Änderungsrate ist ja das gleiche wie die momentane Änderungsrate, und damit der Wert der Ableitung, wenn Du t=0 einsetzt.
    Und für die mittlere Änderungsrate hast Du zwar noch keine Punkte, aber die t-Werte der Punkte... ;)
    Der Anfangsmpunkt hat die t-Koordinate Null und die Endkoordinate hat t=6.
    Kommst Du mit dem Hinweis schon weiter?
    LG
    OLaf

  • christin: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    ja danke olaf es hat mir sehr geholfen:) jetzt muss ich doch f(6)-f(0) durch 6-0 rechnen oder?
    vielen dank schon mal im vorraus :)
    lg christin

  • Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Hej Christin,
    jawoll ;)
    LG
    OLaf

  • christin: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    ach ich hab nen fehler gefunden und zwar ist t in h angegeben ich brauch aber 6 minuten also sind das nich 6 sondern 0.1 . mal sehen ob das jetzt geht aber ich hab noch ein problem ich muss wissen wann die konzentration ( die funktion gibt die konzentration eines medikaments an) am höchsten íst aber mit meiner ableitung kommt raus das es keinen hochpunkt gibt wie kann das?

  • Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Hej Christin,
    ;)
    das konnte ich ja nicht wissen ;)
    Bei mir kommt das Maximum (2 | 0.02) raus.
    Die Ableitung einmal zur Kontrolle:
    4/25*(t+2)^-2 -8/25t(t+2)^-3
    LG
    OLaf

  • christin: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    oh ich hab da ne ganz andere :
    -0,16t+0,32 durch (t+2)^3 wie bist du denn auf die ableitung gekommen?
    ich mit der quotientenregel und bei (t+2)^2 zusätzlich mit der kettenregel. hm naja vielleicht warte ich eifach bis mein lehrer es mir erklärt ;)
    lg

  • Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Hej Christin,
    ja, das läuft über Quotientenregel und Kettenregel...
    Bei den Kontrollergebnissen kann es immer gut mal sein, dass man die noch mal umformen muss, damit ein mit den eigenen Ergebnissen vergleichbares Ergebnis rauskommt...
    f'(t)=(0,16*(t+2)³)-(0,16t+0,32)*(3(t+2)²)/(t+2)^6
    wäre der Ansatz für die Ableitung... und dann noch zusammenfassen:
    f'(t)=(-0,16t+0,32)/(t+2)^3
    wäre auch ein schönes Ergebnis ;)
    LG
    OLaf

  • kadda: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    super Erklärung und verständlicher als das Mathebuch...
    vielen Dank, dass auch ich mal das Gefühl hab was zu verstehen^^

  • Lenni: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    jaa echt gut erklärt, Daanke!
    (habe auch grade das thema -.- )

  • Hila: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hallo :)

    Ich habe die Aufgabe :
    Der Anstieg eines Aktienkurses wird näherungsweise durch die Funktion f(x)=1/4x² beschrieben.

    a: Berechne den mittlere Änderungsrate des aktienkurses für 1. bis 4 Tag 1. bis 3. Tag usw.

    b:Welchen gemeinsamen Punkt (Tag) haben alle Geraden

    c:Verallgemeinerung der Berechnung der mittleren Änderungsrate für P1: Berechnen sie die mittl. Änderungsrate für 1. bis (1+h). Tag. Welche Bedeutung hat as h?

    d: Vereinfach sie diesen term durch Auflösen der Klammern und kürzen sie h

    e: Wogegen bewegt sich der Wert des Terms , wenn h gegen Null strebt (h->0) und was bedeutet dieser Wert?

    ich verstehe c+d+e nicht ganz !

  • Olaf: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hallo Hila,
    am liebsten hätte ich jetzt Deine Aufzeichnungen gesehen (damit hätte ich besser einschätzen können, wie ich antworten kann ;))
    Aber ich versuchs mal so:
    bei a) hast Du bestimmt
    m=(1/4*4²-1/4*1²)/(4-1) gerechnet, oder?
    das kann man verallgemeinern in dem man statt der 4 das 1+h einsetzt:
    m=(1/4*(1+h)²-1/4*1²)/(1+h-1)
    Das Ding nennt man übrigens Differenzenquotient und h ist der Abstand zwischen den beiden x-Werten: http://www.oberprima.com/index.php/category/komplette-kurvendiskussionen/differenzenquotient-kategorie/
    Das Kürzen, das bei d) verlangt wird, kommt in den Video hinter dem Link auch vor und wenn man h gegen Null streben lässt (sind auch ein paar Beispiele in dem Link), dann nennt man das Ding Differentialquotient und damit kann man die Steigung in jedem (ganz bestimmten) Punkt auf dem Graphen bestimmen.
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Milen: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Echt gut erklärt! MACH WEITER SO! :)
    DU bist einfach der Beste ;)

  • Laila: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hallo Olaf :)
    Du hast das echt super erklärt, also die mittlere Änderungsrate habe ich verstanden.

    Aber wir machen jetzt Ableitungen von Funktionen und das verstehe ich nicht.

    1)Bilde rechnerisch die erste Ableitung der Funktion f

    a)f(x)=1/8x^5+1/2x^3-0,7x

    2)Gib die erste Ableitung an.

    a)f(x)=3/x+2√x
    b)f(x)=1/x-x^2-x^4
    c)f(x)=7/x+2/3x^2+5

    3)Gib rechnerisch die erste,zweite und dritte Ableitung an.

    a)f(x)=3x^4+2x^2
    b)f(x)=5x^6-7x^3

    4)Gegeben ist die Ableitung f'.Gesucht ist eine mögliche Ausgangsfunktion f.

    a)f'(x)=3x^2+2x

    Wäre echt super wenn du mir das erklären könntest , danke schonmal :)

  • Olaf: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hi Laila,
    das will ich gern versuchen ;) 1)Bilde rechnerisch die erste Ableitung der Funktion f
    als erstes hab ich hier ein Video für 1a) http://www.oberprima.com/index.php/ableitung-verschiedene-funktionen/nachhilfe
    a)f(x)=1/8x^5+1/2x^3-0,7x
    Ergebnis: 5/8x^4+3/2x^2-0,7
    2)Gib die erste Ableitung an.
    Hier kommt zu dem ersten verlinkten Video noch das zur Ableitung von Wurzelfunktionen: http://www.oberprima.com/index.php/ableitung-wurzelfunktion/nachhilfe
    denn der Teil mit 3/x ist in dem ersten Video mit dabei ;)
    a)f(x)=3/x+2√x
    b)f(x)=1/x-x^2-x^4
    c)f(x)=7/x+2/3x^2+5- hier weiß ich nicht genau, ob das x^2 mit der 3 unter dem Bruchstrich steht oder nicht - in meiner Lösung gehe ich von "oder nicht" aus ;)
    Ergebnisse:
    a) f'(x)=-3/x^2+1/Wurzel(x)
    b) f'(x)= -1/x^2-2x-4x^3
    c) f'(x)=-7/x^2-4/3x
    3)Gib rechnerisch die erste,zweite und dritte Ableitung an.

    a)f(x)=3x^4+2x^2
    b)f(x)=5x^6-7x^3
    Ergebnisse:
    a) f'(x)=12x^3+4x
    b) f'(x)=30x^5-21x^2
    4)Gegeben ist die Ableitung f’.Gesucht ist eine mögliche Ausgangsfunktion f.

    a)f’(x)=3x^2+2x
    Da gibt es noch ein weiteres Video: http://www.oberprima.com/index.php/flaecheninhaltsfunktion-ohne-schikki-mikki/nachhilfe
    Und wieder das Ergebnis zur Kontrolle:
    f(x)=x^3+x^2

    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • linda: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    hallo!

    ich muss in mathe ein projekt über dieses thema vortragen und ich muss sagen du hast es so super einfach erklärt, danke für deine Hilfe!

    hab aber eine frage an dich:
    die tangente, die du gezeichnet hast könnte aber auch anders aussehen oder? Die steigung an dem punkt bleibt ja immer gleich?

    nochmal danke!

  • Olaf: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Hi Linda,
    ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich Deie Frage richtig verstehe - wenn die Steigung und der Punkt gleich sind, dann kann man die Tangente nicht anders zeichnen - allerdings sind meine "Zeichnungen" ja eher Skizzen, so dass das gezeichnet tatsächlich anders aussehen kann ;)
    Hoffe, die Antwort passt ;)
    LG
    OLaf

  • Youssef: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Hi, ich wollte nur mal sagen, dass diese Seite einfach nur geillll ist :D

    Ich habe nur deswegen schon alle Klausuren mit der besten Note abgeschnitten, kriege jetzt sogar im Zeugnis meine 1 ;)

    Dankeeeeee

  • Youssef: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    NDoch eine Frage...

    wie kann ich denn letzendlich die Änderungsrate in Prozent angeben??
    Unsere Lehrerin meinte nämlich, dass es nicht einfach geht, dass man die Änderungsrate mal 100 nimmt...:S

  • linda: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    hallo olaf!

    hast du vllt ein video über entnahmegeschwindigkeit?

    danke

  • Olaf: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Hi Linda,
    so direkt nicht, aber wie lautet denn da die Aufgabenstellung?
    LG
    OLaf

  • Marcus: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Geniales Video!

    Ich schreib morgen eine Klausur, und genau das ist ein Teil des Themas. Ich hab seit 2 Stunden versucht das aus dem Buch zu lernen... Fail. Jetzt eben mal dieses Video angschaut - alles verstanden.

    Ich glaub unser Mathelehrer ist 'ne 0 gegen dich. =D

    Also vielen Dank, Lg

  • Judi: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    Super perfect, das was mir versucht wurde in 3 stunden beizubringen hab ich jetzt verstanden! Danke.

  • Roxy: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    Hallo Olaf,

    Ich habe ein großes Problem
    Ich komme überhaupt nicht mit der Änderungsrate weiter ich hab mir gerade mehrere Male das Video dazu angeschaut, blicke aber trotzdem nicht wirklich dadurch.

    hier ist meine Aufgabe wäre echt nett wenn du mir helfen könntest.

    Bestimmen sie die Änderungsrate von f mit f(x)=1/2x²-x in den Intervallen [t;t+1]

    also im Unterricht haben wir das schon angefangen aber ich komme nicht mehr weiter

  • Olaf: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    Hi Roxy,
    was habt ihr denn schon gemacht?
    Der Ansatz wäre ja dieser ;)
    m=(f(t2)-f(t1))/(t2-t1)
    f(x)=1/2x²-x in den Intervallen [t;t+1]
    Dann ist f(t1)=1/2*t²-t
    und f(t2)=1/2*(t+1)²-(t+1)
    und dann ist m=(1/2*(t+1)²-(t+1)-(1/2*t²-t))/(t+1-t)
    =1/2(t²+2t+1)-t-1-1/2t²+t
    =1/2t²+t+1/2-2-1/2t²
    =t-1,5
    wenn ich mich jetzt nicht verrechnet hab... aber ich schreib mir die Aufgabe auch noch mal auf und werde dazu auch noch ein Video machen, kann aber nicht sagen, wann's online ist...
    LG
    OLaf

  • Roxy: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    hallo Olaf

    ich verstehe nicht wie du von der ersten zeile in die zweite kommst

    im unterricht haben wir das gemacht

    f(T+1)-f(t)
    _____________________
    t+1-t

    danach wurde das interval irgendwie in die gleichung eingesetzt oder umgekehrt und ab da komm ihc nihct mehr weiter

  • Olaf: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    Hi Roxy,
    der Schritt hier?
    m=(1/2*(t+1)²-(t+1)-(1/2*t²-t))/(t+1-t)
    =1/2(t²+2t+1)-t-1-1/2t²+t
    da hb ich einmal die binomische Formel ausgerechnet (t+1²) und das -(t+1) wird zu -t-1 genauso bei -(1/2t²-t) und im Nenner hab ich t-1 ausgerechnet... ;)
    LG
    OLaf

  • Roxy: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    danke danke danke olaf du hast mir sehr weiter geholfen
    die seite ist einfach spitzeeeeeeeeeeeeee

  • dennis: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Hey Olaf!
    Mal ne frage zur Momentanen -Steigung in deinem Video.Wie kommt die gleichung mit f'(x) zustande??
    Danke

  • Agi: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Heyho, bin erst seit gestern auf deiner Seite, muss für Matheklausur lernen, finds echt toll was du hier so machst hehe, sehr verständlich erklärt und nicht so fad wie unser mathelehrer ;)
    thumbs up
    lg

  • Mareike: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    echt super ;)

  • sonja: 2 Jahre, 1 Monat alt.

    echt toll!
    vll kann mir jemand nur gerade antworten.
    in meinem mathematikbuch ist eine aufgabe:
    "ermitteln sie die ableitungsfunktion mithilfe eines differenzenquotienten" z.B. bei : f mit f(x)=3x²...
    was muss ich machen?:)ich habe ja kein intervall gegeben

  • Adele: 2 Jahre alt.

    Ich habe diese Aufgaben nicht richtig verstanden und wäre sehr glücklich wenn Sie mir weiter helfen könnten :)

    Gegeben sei die Funktion f(x)=x²-2x.
    a)Zeichne den Graphen von f für -2

  • Kathy: 2 Jahre alt.

    das video ist echt hilfreich. jetzt hab ich wenigstens das verstanden,;) aber wie berechnet man dir tangentensteigung mithilfe der lim formel?
    bei meinem lehrer hab ich das nicht verstanden...
    LG

  • Chris: 2 Jahre alt.

    Muss man nicht auch noch bei der Momentanen Änderungsrate auch noch mit 10 rechnen??

  • Olaf: 2 Jahre alt.

    Hi Chris,
    nee ;) das ist genau der Unterschied: bei der mittleren Änderungsrate geht es um die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf dem Graphen und bei der momentanen Änderungsrate geht es um die Steigung in einem Punkt des Graphen...
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • Karl: 1 Jahr, 12 Monate alt.

    die seite hier ist super, nur ich verstehe nciht was die rotz werbung immer soll

  • Olaf: 1 Jahr, 12 Monate alt.

    HI Karl,
    ohne die Rotzwerbung würde der Mensch der die Videos aufnimmt (OLaf) die Videos hungernd im Armenhaus drehen ;/
    LG
    OLaf

  • Salomé: 1 Jahr, 12 Monate alt.

    Hey Olaf!!!
    Wollte dir au nur ma kurz mein Dank aussprechen. Die Seite is echt genial und ich denk, mein mündliches Abi am Dienstag schaff ich mit Links. Übrigens finds voll lustig wie du immer lachst.. :D

  • horst: 1 Jahr, 11 Monate alt.

    allet en paar freaks

  • Kiwi: 1 Jahr, 8 Monate alt.

    DANKE DANKE DANKE MACHT WEITER SO NOCHMAL DANKE!!!!!!! ENDLICH VERSTANDEN!!!!

    • Timmäh: 1 Jahr, 7 Monate alt.

      also ich muss einfach mal sagen, dass diese seite das beste ist, was mir heute passieren konnte ;)

      DANKE OLAF!! <3

  • Anni: 1 Jahr, 8 Monate alt.

    dankeschööööööön:)..mein tag wurde gerettet:)

  • Farbkasten: 1 Jahr, 7 Monate alt.

    Vielen Dank erstmal für das Klasse Video ! :)

    Ein Problem habe ich jedoch . Wenn ich die Funktion f(x)= x^2+2*x mit der h-Ableitung umrechne bekomme ich am Ende immer f'(x)=2x+h+1 wo liegt der Fehler ?

  • Vanessa: 1 Jahr, 6 Monate alt.

    Hallo :-)

    Ich schreib Freitag ne Matheklausur und konnte erst gar nix :D
    Seit gestern bin ich hier und hab mehr verstanden, als in 8 wochen matheunterricht!
    vielen dank ! :-)
    Immer weiter so !!! :-)

  • Rimon: 1 Jahr, 4 Monate alt.

    super erklärt DANKE! einfach oberprima :D

    Gruß

  • Anna: 6 Monate, 2 Wochen alt.

    Vielen Dank für diese tollen Tricks- dank dir ist das Zuhören bei meinem Mathe- Lehrer noch unnötiger und nutzloser geworden :)
    Wäre da nicht die doofe Epo- Note könnte ich schlafen und später deine Videos schauen!
    Besonders weil ich jetzt auch endlich weiß, was ich da die ganze Zeit mache!
    Vielen vielen Dank!

    :)

  • Sandy: 4 Monate, 2 Wochen alt.

    Hey,
    wie rechnet man die mittlere Änderungsrate aus, wenn man kein Intervall gegeben hat bzw nur xeR?

    LG
    Sandy

  • Olaf Hinrichsen: 4 Monate, 2 Wochen alt.

    HI,
    das kommt ganz drauf an, was Du für eine Funktion gegeben hast...
    magst Du die konkrete Frage, bzw, Deine Aufgabe hier posten: http://oberprima.com/board/
    Danke ;)
    LG
    OLaf

  • ...: 4 Monate, 2 Wochen alt.

    hey olaf wie rechnet man denn das ganze ohne funktionsgleichung

  • hans: 4 Monate, 2 Wochen alt.

    hey olaf ich verstehe diese aufgabe garnicht wäre nett wenn du mir helfen könntest

    Also das ist die Aufgabe:
    Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt.
    Tabelle:
    Tage d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    Höhe (in mm) 0 0 0 0 1 2 4 6 7

    Wie groß ist die mittlere Änderungsrate der Funktion Tage->Höhe für den gesamten Messzeitraum?

  • Olaf Hinrichsen: 4 Monate, 2 Wochen alt.

    Hi Hans,
    in dem Fall genauso wie im Video - nimmt man die Wertepaare (1/0) und (9/7) und berechnet daraus delta y durch delta x ;)
    Mal versuchen?
    LG
    OLaf

  • hans: 4 Monate, 1 Woche alt.

    hey olaf
    danke ich habe es aber mit einer anderen formel gerechnet.trotzdem dein ansatz hat mich weiter gebracht daaaaaaaaaannnnkke

  • leena: 4 Monate alt.

    Super erklährt!!!
    endlich hab ichs verstanden und bin fit für die mathe klausur!!!

  • Calvin: 4 Monate alt.

    Ich habe die gleiche Frage wie Hans. (mit der Kressepflanze)
    Und das mit delta y und delta x oder so hatten wir noch nicht. Kannst du mir das bitte anders erklären? :/

  • Olaf Hinrichsen: 3 Monate, 3 Wochen alt.

    HI Calvin,
    delta stehtr in dem Fall für Differenz - also delta y = der y-wert des ersten Punktes (y1) minus den anderen y-Wert (y2) und für delta x halt x1-x2
    Hoffe, das hilft Dir weiter
    LG
    OLaf

  • marie: 3 Monate, 1 Woche alt.

    Danke! Mehr kann ich nicht sagen. :)

  • Daniel: 2 Monate, 3 Wochen alt.

    Vielen Dank!
    Ich hab das Thema im Unterricht kein bisschen verstanden und jetzt ist es mir endlich klar geworden!
    Wirklich sehr gut und verständlich erklärt.

  • Laura: 2 Monate, 2 Wochen alt.

    Vielen lieben dank, das hat mir wirklich weitergeholfen!
    danke danke danke !!! :-)

  • Benjamin: 2 Monate, 2 Wochen alt.

    Hallo Herr Hinrichsen,

    nach diesem Video bin ich mal wieder völlig überwältigt, wie einfach Mathematik sein kann, wenn man es vernünftig erklärt bekommt. Vor jeder Mathe- Klausur bin ich total verzweifelt, weil ich die Themen in der Schule nicht verstehe, doch dann schaue ich mir Ihre Videos zu den jeweiligen Themen an, welche mir sehr viel helfen, und frage mich, was ich nur ohne Ihre weltklassemäßigen Erklärungen machen würde.
    Vielen Dank dafür!!!

  • Erkan: 1 Monat, 4 Wochen alt.

    Sie erklären die Aufgabe einfach nur perfekt
    ich hatte sehr große Schwierigkeiten das Thema zu
    verstehen doch Dank ihrer perfekten Erklärung
    habe ich das Thema jetzt verstanden thx

  • Max: 1 Monat, 3 Wochen alt.

    Hallo Herr Hinrichsen,
    haben sie ein video in welchem sie die mittlere Änderungsrate mit der h-Methode erklären?
    (der Link oben funktioniert iwie ned, deshalb frag ich)

    Ansonsten, super erklärt :)

    Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.

    LG
    Max

  • Olaf Hinrichsen: 1 Monat, 3 Wochen alt.

    Hi Max,
    gib mal in die Suche h-Methode ein - dann ssolltest DU das finden (ich weiß grad nicht, welchen Link du genau meinst ^^)
    LG
    OLaf

  • Mirco H: 4 Wochen alt.

    kurz, knapp, bündig, gut !

  • Mustafa: 2 Wochen, 6 Tage alt.

    Vielen dank du hast mir sehr geholffen. Tolles Viedeo und super Erklärung.

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