Mathematik

Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Von Olaf Hinrichsen am 16. Juni 2009 veröffentlicht. Kommentare (49)

Eine Ebene in Parameterform ohne Zwischenschritt in die Koordinatenform zu bringen ist die Aufgabenstellung des folgenden Mathevideos zum Thema Vektorrechnung:

Wer das Vektorprodukt nicht benutzen darf, muss diesen rechnerischen Umweg wählen, sonst könnte Punktabzug drohen.

Weiterführende Links z.B. dazu, wozu man das macht, eine Parameterform in Koordinatenform umwandeln.

Und hier dann zum Mitschreiben der quasi finale Bildschirm:

Parameterform in Koordinatenform

Normalenvektor ohne Vektorprodukt für die Umwandlung

Parameterform in Koordinatenform Alternative Berechnung

Aber das Vektorprodukt kann man dann immer noch zur schnellen Probe verwenden ;)

Weiterführende Links

Alle Beiträge zum Thema Ebenengleichungen umwandeln und zur Übersicht Vektorrechung findest Du, wenn Du auf diese Bild klickst:

Ebenen umwandeln 400

Wenn man sich seines Ergebnisses unsicher ist, macht es natürlich auch Sinn, die Probe durchzuführen, um dann beschwingten Geistes in der Klausur über analytische Geometrie weiter zu rechnen, wissend, dass man die Parameterform richtig in die Koordinatenform gebracht hat und damit jetzt die weiteren Aufgaben leichter und schneller rechnen kann.

Wer sich eine weitere Art der Umformung von Parameterform in Koordinatenform anschauen möchte - hier geht's zur alternativen Berechnungsmethode .

Diese Umwandlung ist nämlich für fast alle Aufgaben sinnvoll, in denen man Lagebeziehungen von Ebenen mit Punkten, Geraden und weiteren Ebenen bestimmen will - dazu hier ein paar weiterführende Beispiele:

Die Lagebeziehung von Punkt und Ebene lässt sich natürlich auch in anderen gegebenen Ebenenformen zügig durchführen, aber wenn man in der Aufgabenstellung sieht, dass man sowieso die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln muss um zum Beispiel auch noch die
Lagebeziehung einer Gerade mit einer Ebene zu überprüfen, dann lohnt sich auch schon im Fall Punkt/Ebene die Umformung.

Wenn es um die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen geht, führt unter Geschwindigkeitsgesichtspunkten absolut kein Weg mehr vorbei an der Umwandlung.

Und geht es um den Schnittwinkel, den zwei Ebenen mit einander bilden , dann ist auch hier die Umwandlung oft das Mittel der Wahl, denn man braucht dazu eleganter Weise die Normalenvektoren.

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49 Kommentare

  • Denise: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Hallo Olaf,

    erstmal Kompliment, super Sache, was du hier machst!

    Das mit dem Kreuzprodukt ist natürlich der einfachste Weg- nur will unser Lehrer den nicht.
    Und hier ergibt sich mein Problem:

    Unser Lösungsverfahren besteht daraus, dass wir erst einmal die Parameterform in ein Gleichungssystum umschreiben, das 3 Zeilen und 2 unbekannte (z.B. r & s) hat. Ich entnehme mal die Beispiel Aufgabe aus meinem Buch:

    E: x = (2/2/1) + r* (1/-2/3) + s* (2/5/7)

    Aus der Parameterform ergibt sich LGS:

    x1 = 2+r+2s
    x2 = 2-2r+5s
    x3 = 1+3r+7s

    Schön und gut und noch sinnvoll. In meinem Buch steht dann als weiterer Schritt:
    "Man formt so um, dass in einer Gleichung die Parameter wegfallen." Also:

    x1 = 2 + r + 2s
    2x1 + x2 = 6 + 9s
    -3x1 + x3 = -5 +s

    =>

    x1= 2 + r + 2s
    2x1 + x2 = 6 + 9s
    29x1 + x2 - 9x3 = 51

    Daraus ergibt sich die Koordinatengleichung der Ebene E: 29x1 + x2 - 9x3 = 51

    Dies ist mir allerdings schleierhaft, da ich die Rechenschritte und den Sinn parout nicht nachvollziehen kann.
    Also frage ich mal ganz direkt: Lust, dafür ein Video zu machen?

  • Olaf: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Hej Denise,
    direkte Antwort: jupp ;)
    Mach ich direkt nachher noch, oder spätestens morgen
    LG
    OLaf

  • Denise: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Juchu! Du bist der Beste!

  • Sina: 2 Jahre, 8 Monate alt.

    Wie genial. Mein Lehrer hats anders erklärt, aber dieser Weg erscheint mir leichter. Danke!

  • :): 2 Jahre, 7 Monate alt.

    Wollte mich nurmal schnell bedanken! Hab mir vor meiner letzten Matheklausur im Mathe-LK 13.Klasse hier alles angeguckt weil ich wenig beim Matheunterricht war und noch vieles nicht verstanden hatte.
    Du erklärst wirklich alles 1a und mit super witzigem Flair.
    In Mathe habe ich 13Pkt. geschrieben womit ich äußerst zufrieden bin :).
    Eigentlich bräuchte man nur deine Erklärungen und ein paar Übungsaufgaben statt soviele inkompetente Lehrer!!!

    Vielen DANK!

  • Jacky: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    Hallo!

    Ich finde deine Seite echt klasse, hat mir heute beim lernen schon super weiter geholfen!
    Aber ich habe mal eine Frage: Muss man bei der Bestimmung des Normalenvektors den mittleren Wert nicht negieren? Also damit meine ich - ( 3*2 - 1*1). Wir hatten das in der Schule so und unser Lehrer meinte auch es ist ganz wichtig, dass wir das nicht vergessen.
    Ich hoffe ich mache das morgen nicht falsch, aber vielleicht kommt es ja auch gar nicht ran :)
    Liebe Grüße und danke für deine vielen tollen Erklärungen!

  • Olaf: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    Hej Jacky,
    erst mal drücke ich Dir die Daumen für heute ;)
    und dann noch zu der Frage wegen des Normalenvektors: Das coole ist, man kann es kontrollieren, dess Normalenvektor Mal Richtungsvektor muss, wenn man richtig gerechnethet =0 sein...
    Von daher muss man da nicht negieren, weil
    (4/5/2)*(1/-2/3)=0
    und
    (4/5/2)*(2/-2/1)=0
    Hoffe, das beantwortet Deine Frage und vielleicht liest Du das ja auch noch, weil die Klausur erst in der 8. Stunde ist ;)
    LG
    OLaf

  • Jacky: 2 Jahre, 6 Monate alt.

    ah ja super danke das macht natürlich sinn :) habs zwar nicht mehr vorher gelesen, die klausur war schon gleich heute früh, aber das war dafür sowieso nicht soo wichtig. Die seite hat mir zwar sehr sehr geholfen, trotzdem ist mein Mahtelehrer diesmal ziemlich fies gewesen und hat echt unmögliche aufgaben rein gemacht -.- nicht zu schaffen in der Zeit und auch einfach zu schwer :( aber ich werd mir die Seite hier auf jeden fall für die nächste Klausur merken, die kommt ja auch bald noch... und da ist sie bestimmt wieder eine super Hilfe. Dank deinen Videos hab ich das Thema wenigstens verstanden und konnte ein paar Aufgaben ganz gut lösen denk/hoff ich :)
    Also nochmal vielen vielen Dank!!!
    Liebe Grüße, Jacky

  • Dave: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Vielen Dank Olaf, habs jetzt endlich verstanden

  • Tobi: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hab das Schema angewendet auf:

    E:x = 3 0 -3
    2 + r -2 + s 0
    0 2 2

    Meine Form am Ende ist: -4x-6y-6z = -24

    In den Lösungen meiner Aufgabe steht aber:
    2x+3y+3z=12

    Es sieht irgendwie aus, als hätte es was mit meinem Ergebnis zu tun!?!

  • Olaf: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Hej Tobi,
    absolut hat Deine Lösung was mit der Musterlösung zu tun ;)
    Deine Lösung ist auch total richtig, selbst wenn man sie nicht umformen würde... aber - man darf bei Koordinatenformen einfach die komplette Gleichung durch eine Zahl teilen oder mit einer Zahl multiplizieren, in diesem Fall ergibt Teilen durch -2 exakt dasselbe Ergebnis wie das aus dem Buch!
    Herzlichen Glückwunsch!
    LG
    OLaf

  • Burak: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Leute vielen vielen dank für eure Videos. Endlich mal ein Vorteil von Technik und Internet. Schreibe in 2 Tage eine LK Klausur und war schon komplett verzweifelt wie ich alles umformen sollte.
    Dank euch kann ich es jetzt uns zwar schneller als die Methode, die wir im Unterricht hatten :)

  • bastian: 2 Jahre, 5 Monate alt.

    Der mann ist ein absoluter held.
    du hilfst mir echt so sehr.
    danke

  • Florian: 2 Jahre, 4 Monate alt.

    Einfach geniale Seite,
    finde dass du einfach und total verständlich erklärst
    und alles in kleinen Häppchen abgibst.

    So macht mir Lernen echt Spass!

    Herzliche Grüße Flori

  • mayka: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    hallo Olaf,
    Es kann sein dass ich mich irre, aber ist beim dem kreuzprodukt nicht die mittlere Zeile mit einem minus in der Formelsammlung? (o2:15)also
    - 3x2-1x1?

  • tanita: 2 Jahre, 3 Monate alt.

    hallo olaf,
    ich habe es verstanden und auch in meiner Klausur so gemacht jedeoch hatten wir das Kreuzprodukt noch nicht im Unterricht und ich habe punkt abzug bekommen weil ich das einfach aufgeschrieb ohne zu begründen ;) bei uns setzen die eine glaube ich eine zahl einfach fest (& die bedingung n * V1 und n * V2) aber das ist mir noch nicht klar!
    Also wäre eine begründung oder noch ein anderer weg super!
    lg tanita

  • Anna: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Lieber Olaf,
    dieses Video hat mir schon sehr geholfen, allerdings brauche ich dringend Hilfe beim Umformen der Koordinatenform in die Parameterform.

    Würde mich über ein Video zu dem Thema freuen.
    Danke schonmal.

    Lg Anna

  • Desa: 2 Jahre, 2 Monate alt.

    Vielen vielen Dank!!! Ich hätte nicht gedacht dass ich das übers Internet verstehen könnte, aber du machst das echt super. Immer wenn ich eine Frage hätte beantwortest du sie schon im nächsten Atemzug :)

  • Tani: 2 Jahre, 1 Monat alt.

    Hallo erstmal,
    ich fand das video sehr gut und habe nun endlich begriffen wie man die Koordinatenform für die Ebenengleichung aufstellt.
    Vielen Dank dafür :)
    wie funktioniert dies denn nun wenn man eine Gerade in eine Koordinatenform brigen möchte?
    Das Problem ist ja hierbei, dass man nicht 2 Richtungsvektoren hat!!
    Liebe Grüße

  • Natalia: 2 Jahre alt.

    Vielen Dank für dieses Video

    Ich habe einen ganz anderen Weg gehabt, um solche Aufgaben zu rechnen, und ich habe es nicht geschafft. Dank dir habe ich nun eine einfachere Methode gefunden.
    Alles wirklich gut erklärt, ich kann nur jedem raten, deine Videos anzuschauen, bevor man Klausuren schreibt!

  • Lena: 2 Jahre alt.

    hallo olaf,
    wenn das, was ich mir aus deinem video nun abgeleitet hab (also einfach deine zahlen durch meine hausaufgaben ersetzt ;)) wirklich stimmt, dann danke ich dir sehr, denn das könnte mich retten :)

    morgen stellt es sich heraus

    lg lena

  • Olaf: 2 Jahre alt.

    Hi Lena,
    ich hoffe, das hat geklappt ;)
    LG
    OLaf

  • Juli: 2 Jahre alt.

    Hi Olaf, kannst du mir bitte bitte heute noch ein paar Vor-und Nachteile der verschiedenen Ebenengleichungen ausspucken? :) Anschaulichkeit, Parameterform besser, Punkt in Ebene bestimmen und Normalenverktor ablesen, Koordinatenform besser, Normalenform, ist ja die Faktorisierte Form der Koordinatenform, oder? wo ist dann da der Unterschied? kann doch bei beiden eh den Normalenvektor ablesen

    Gr Juli

  • Olaf: 2 Jahre alt.

    Hi Juli,
    es tut mir leid, aber ich hab's nicht mehr rechtzeitig geschafft, zu antworten... Ich sehne süchtig nach der neuen Programmierung, dann hätte Dir auch jemand anderes auf OberPrima.com weiter helfen können...
    LG
    OLaf

  • Oliver W.: 2 Jahre alt.

    Noch mal als Ergänzung, die Ebene:

    E: x = (0/1/1)+r(1/-1/1)+s(0/0/2)

  • Olaf: 2 Jahre alt.

    Hi Olli,
    ich hab -2x-2y=-2 raus ;)
    also unterscheiden wir uns nur durch das Vorzeichen bei y ;)
    Meine Rechnung für die y-Koordinate des Normalenvektors ist:
    1*0-1*2
    Kann das sein, dass Du da was umgedreht hast?
    LG
    OLaf

  • Oliver W.: 2 Jahre alt.

    Hallo Olaf,

    habs jetzt auch! Kam beim Kreuzen etwas durcheinander ;)

  • Abitur2010: 2 Jahre alt.

    Vielen Dank für deine sehr guten Videos!
    Mach weiter so, ich habe dich schon weiterempfohlen.
    Wie immer perfekt und kurz erklärt, danke schön!

  • sina: 1 Jahr, 5 Monate alt.

    voll cool . leider haben wir die im unterricht noch nicht auch nicht den normalenvektor !unser lehrer lässt uns schön das LGS mit den vier variablen rechnen und ich muss sagen : das ist echt übel ! ich glaube ich hab mich sehr oft verrechnet !!
    vll. könnt ihr ja doch einmal zeigen wie man das macht mit den vier variablen ohne eine koordinatengleichung zu errechnen ! =)

    lg

    • Olaf Hinrichsen: 1 Jahr, 5 Monate alt.

      Hi @muumin,
      kannst Du mir da noch mal kurz sagen, was genau die Aufgabenstellung ist - weil in dem Video geht's ja um die Umwandlung der Ebeneform und Du meinst, rate ich mal - die LAgebeziehung zwischen Ebene und Ebene in Parameterform, oder?
      LG
      OLaf

  • Yunus Emre: 1 Jahr, 5 Monate alt.

    Hallo Olaf,

    wir schreiben am Freitag eine Matheklausur über die gesamte Vektorielle Mathematik und jetzt kommt mal ne witzige Frage :D
    "Gegeben sind die Punkte A(2|2|-4), B (1|2,5|-1) und C (0|3|2).

    Zeigen Sie, dass die Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen.
    Geben Sie eine Gleichung dieser geraden h in Parameterform an."

    Hast du zufällig ein Video wo du eine ähnliche Aufgabe behandelst oder könntest du es mir krz erklären?

  • Alessia: 1 Jahr, 2 Monate alt.

    Hey Olaf,

    eine Frage du sagst am Anfang des Videos, dass es auch Videos zur Herleitung vom Kreuzverfahren gibt, könntest du mir einen Link davon schicken. Finde es irgendwie nicht, und muss es am Mittwoch herleiten.

    danke im Vorraus :)

    • Olaf Hinrichsen: 1 Jahr, 1 Monat alt.

      Hi Alessia,
      das ist leider ein bisschen doof gelaufen, weil ich keine Zeit hatte zu antworten -ich hoffe, Du hast noch jemanden im Forum gefunden, der Dir den Weg gewiesen hast?
      LG
      OLaf

  • Kader: 6 Monate, 1 Woche alt.

    Hi, ich schreibe in zwei Tagen eine 4-stündige Mathe-Lk Klausur und du bist meine Rettung :)
    Danke, dass du deine Freizeit für sowas opferst und vielen verzweifelten Menschen hilfst :)

  • Karn: 4 Monate, 2 Wochen alt.

    Hey Olaf
    Deine Aufgabe ist nachvollziehbar, aber wie kommen die bei der Lösung der Aufgabe:http://www.philipp-reis-schule.de/images/unterricht/mathematik/stufe13_so/algebra/gy1.m.bw.alteaufg.analytgeo12.pdf
    von der Parameterform in die Koordinatenform auf (5)x2+(4)x3=360?
    Ich komme mit deinem Ansatz auf (12960)x2+(10368)x3=933120?
    Nach dem Begriff:"Eine Vektorgleichung der Ebene" suchen dann kommt die Stelle.
    Vielen Dank

  • Julia: 2 Monate, 2 Wochen alt.

    Hallo Olaf,

    Kann ich das d bei der KF nicht einfach mit einer Punktprobe ausrechen? Also den RV in die gefundene KF einsetzten und dann nach d auflösen? Ich bekomme das selbe Ergebnis.

    Vielen Dank im Vorraus,
    Liebe Grüße

  • Olaf Hinrichsen: 2 Monate, 2 Wochen alt.

    Hi Julia,
    das geht auch, ja ;)
    LG
    OLaf

  • Julia: 4 Wochen, 1 Tag alt.

    Mehr als Oberprima! :) Morgen habe ich Mathe-Abi und bisher hatte ich keine Lust weiter zu lernen weil meine Ergebnisse immer so krumm waren. Danke, dass ich jetzt auf richtige Ergebnisse komme! Und Danke dass ich wieder Spaß habe für morgen zu lernen!! :)

  • Seppel Strammsack: 2 Wochen, 1 Tag alt.

    Ich habe etwas vergessen ich schaue jetzt schon zum 100. mal dein Video und ich muss echt sagen deine Krawatte ist der hammer sie betont deine figur du hast eine Ausdrucksweise die sogar die sonne zum lächeln bringt LG Ich liebe dich bussi kussi

  • fabian: 1 Woche, 1 Tag alt.

    Gesucht ist der Schatten, den die erste Pyramide auf eine zweite Pyramide wirft. Für die Berechnung nehmen wir folgende Daten an:
    Die Eckpunkte der ersten Pyramide sind A(-3|3|0), B(3|3|0), C(3|-3|0), D(-3|-3|0) und S(0|0|5).
    Die Eckpunkte der zweiten Pyramide sind E(-5|-10|0), F(-5|-6|0), G(-9|-6|0), H(-9|-10|0) und T(-7|-8|3).
    Die Richtungder Sonnenstrahlen ist gegeben durch die v (mit dem Pfeil oben) = (-12;-16;-7).
    Zeichnen Sie ein Schrägbild der beiden Pyramiden den Schatten.

    Ich verstehe leider nichts. Brauche drigend eure Hilfe....

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