PQ-Formel
PQ-Formel, als allererstes das Basis-Video. Die PQ-Formel ist eine der wichtigsten Formeln, wenn es um die Lösungen einer quadratischen Gleichung und um deren Nullstellen zu berechnen.
Oft wird versucht, die quadratische Gleichung um zu stellen, was nur mit quadratischer Ergänzung funktioniert (siehe unten)und umständlich ist.
Deshalb: merk Dir die Form der quadratischen Gleichung, bei der man elegant nur mit der PQ-Formel weiterkommt:
- Zum mitschreiben der Formel, ein Bild
- Zusammenfassung des P-Q-Formel-Videos
- Weitere Videos zur P-Q-Formel
Lösungen der Gleichung (Nullstellen) durch die Formel
Zusammenfassung des Videos zur PQ-Formel
Das heutige Thema ist die PQ-Formel.
Mit der PQ-Formel können die Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnet werden, also eine Gleichung, die aussieht wie diese hier: 0 = 2x²+4x-6.
Jede Gleichung dieser Art kann mit der PQ-Formel gelöst werden.
Erster Schritt: Gleichung gleich Null setzen
Die Normalform der quadratischen Gleichung lautet: f(x) = x²+px+q
Wichtig ist hierbei, dass vor dem quadratischen Glied eine 1 steht und kein anderer Faktor.
Falls dort eine andere Zahl steht, muss die Gleichung dadurch geteilt werden.
Bei dem Beispiel f(x) = 2x²+4x-6 wäre der 1. Schritt also:
0 = 2x²+4x-6 |:2
0 = x²+2x-3
Jetzt steht die quadratische Gleichung in der Form, die wir brauchen und wir können uns freuen!
Zweiter Schritt: Lösen, aber Achtung, es kann bei der PQ-Formel zwei Lösungen geben!
Die Lösungen der Gleichung lautet:
$$x_1/2 = -\frac{p}{2} +- \sqrt{\frac{p}{2}² - q}$$
In unserem Beispiel ist p = 2 und q = -3.
Daraus ergibt sich für die Lösungen:
$$x_1/2 = -\frac{2}{2} +- \sqrt{\frac{2}{2}² + 3}$$
Die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) ist positiv, also gibt es zwei Lösungen.
$$x_1/2 = -1 +- \sqrt{4}$$
$$x_1/2 = -1 +- 2$$
Also ist x1 = -1+2 = 1
und x2 = -1-2 = -3
Die Lösungen der quadratischen Gleichung bedeuten, dass die Funktion bei 1 und -3 den Funktionswert Null hat, also die X-Achse schneidet.
Weitere Videos zur P-Q-Formel
Und hier sind die beiden Videos, wenn das Q oder das P in der quadratischen Gleichung fehlen, also für die Gleichung: 0=x²+px oder diese Gleichung: 0=x²+q.
Und hier sind die beiden Videos, wenn das Q oder das P in der quadratischen Gleichung fehlen, also für die Gleichung: 0=x²+px oder diese Gleichung: 0=x²+q.
Es gibt ja manche Gleichungen, bei denen nichts hilft, die Wurzel, eigentlich die Diskriminante (das ist das, was unter der Wurzel steht, also der Radikant), ist negativ und deshalb gibt es keine Lösungen, also auch keine Nullstellen:
Und dann gibt's da ja auch immer noch Brüche, auch in der pq-Formel:
Und auch negative Zahlen bei p und q machen immer wieder Knoten in manches Gehirn, deshalb auch noch mal dieses Video. Im selben Beitrag findest Du dann noch ein Video zur PQ-Formel, bei der vor dem x² ein Minus steht.
Wer jetzt wissen möchte, wie man überhaupt auf die Formel kommt, mit der man so schön schnell die Lösungen einer quadratische Gleichung berechnen kann, der oder die schaut sich an, wie man die P-Q-Formel mit der quadratischen Ergänzung herleitet, und also die Frage klärt, wie man eine solche quadratische Gleichung doch mit einem Trick auflösen kann, der oder die schaut sich auch noch dieses Video an:
Anwendung der p-q-Formel oder: wofür braucht man das eigentlich?
Jetzt könntest Du sagen: ja, klar, und wofür brauch ich das jetzt? Dann gibt's hier einige schöne Videos von Tobias zum freien Fall (da kommt in echt das Thema quadratische Gleichung vor), bei denen einer eine Münze in einen Brunnen
wirft und auch
beim schrägen Wurf
wird mit der pq-Formel gerechnet ;) Und ganz zum Schluss noch zwei Videos zu einer Übung zur p-q-Formel.
Bei einer quadratischen Gleichung fehlen zum Beispiel p (aus der p-q-Formel) und x1 (das ist die eine der Nullstellen) oder q und x2 und nun soll man die Werte (Lösungen) dafür finden, natürlich mit der pq-Formel ;)
Deine Gleichung sieht ganz anders aus als die Gleichung im Video? Dann schau unbedingt hier rein:
Da findest Du Deine ganzrationale Gleichung sicher!
So, Gleichung gelöst, äh, anders - ich hoffe, bei der quadratischen Gleichung gibt jetzt mehr Lösungen als Fragen. Wenns doch noch welche gibt, dann immer rein damit in die Kommentare.
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