Quotientenregel
Die Ableitungsregel Quotientenregel, also für Funktionen mit Zähler und Nenner, also gebrochenen, zumeist gebrochen-rationalen Funktionen.
Dazu hier ein Basisvideo.
Daran schließen sich weiterführende Links an.
Hinweis von Markus: Die Quotientenregel ist ja eine Ableitungsregel, und deswegen muss natürlich ganz am Anfang in der Zeile, in der die Regel das ganze Video über steht, stehen: (u(x)/v(x))'= und dann kommt die Regel, die aber korrekt ist;)
Weitere Videos zur Quotientenregel
Weils häufig zu Verwirrung führt und in manchem Test zu Ableitungsregeln vorkommt, die
- Herleitung der Quotientenregel
Manchmal kann man die Ableitung mit der Quotientenregel umgehen:
Natürlich kann die Quotientenregel auch gepaart mit weiteren Ableitungsregeln auftreten, wie in diesen Beispielen:
- Kettenregel Produktregel und Quotientenregel auf einmal
- Quotientenregel in der inneren Funktion Ableitung
Die erste Verwendung der Regel im Zusammenhang einer größeren Aufgabe ist dann die Nutzung in der Kurvenuntersuchung :
Und, ein wenig ausführlicher an weiteren Beispielfunktionen:
- Erste und zweite Ableitung gebrochenrationale Funktion Schemavideos
- Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion f(x)=(x^4-5x^3+7x^2-3x)/(x^2-2x)
Und auch, wenn Scharparameter ins Spiel kommen - die gebrochenrationale Funktion wird mit der Quotientenregel abgeleitet:
- Ableitung gebrochenrationale Funktionsschar
- Gebrochenrationale Funktionsschar Nr. 1 Parameter im Nenner
- Gebrochenrationale Funktionsschar Nr. 2
- Gebrochenrationale Funktionsschar Nr. 3 Parameter im Zähler
Und zum Schluss, wenn man die gebrochenrationalen Funktionen "vorwärts" beherrscht, kann man das ganze bei einer Funktionssythese rückwärts anwenden:
- Funktionssynthese gebrochenrationale Funktion
- Funktionssynthese gebrochenrationale Funktion Struktur (ax²+bx+c)/x
Viel Spaß bei der nächsten Klausur mit der Quotientenregel und immer eine Handvoll Punkte im Sack!
Aus dem Video:
Quotientenregel
Es werden in diesem Video nicht alle Fälle, sondern nur die Regel an sich abgedeckt.
Die Quotientenregel wird immer dann angewendet, wenn wir eine zusammengesetzte Funktion haben, die aus zwei Funktionen besteht, die durch einen Bruchstrich getrennt sind wie
$$\frac{u(x)}{v(x)}$$
Auch Funktionen wie
$$f(x) = \frac{x^2}{3x}
können als Quotientenregel berechnet werden.
Hier können wir aber das x kürzen und wird dadurch x/3, welches dasselbe ist wie 1/3 x.
Mit der Quotientenregel hätten wir hier einen "unglaublich" langen Term erhalten.
Die Ausschreibung unserer gegebenen Formel wäre folgende
$$(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u’(x) * v(x) – u(x) * v’(x)}{(v(x))²}$$
Zum Merken:
die obere Hälfte der Gleichung ist die Produktregel nur mit Minus (wenn man sich die schon gemerkt hat).
Ansonsten kann man es sich auch abkürzen, wenn man es sich jetzt schon merkt, dass es natürlich Funktionen mit x sein müssen. Alles, was wir nicht umschreiben können, um so eine einfachere Regel benutzen können, funktioniert so:
$$(\frac{u}{v})' = \frac{u’ * v – u * v’}{v²}$$
Erst Zähler ableiten mal Nenner hinschreiben minus Zähler hinschreiben mal Nenner ableiten geteilt durch Nenner quartieren.
Bei der folgenden Funktion ist es wichtig, dass wir nicht kürzen können.
$$f(x) = \frac{sin x}{\frac{1}{2}x²}$$ (Die Ableitung von Sinus x ist Kosinus x)
Die abgeleitete Funktion sieht wie folgt aus:
$$f’(x) = \frac{cos x * \frac{1}{2}x² - sin x * x}{(\frac{1}{2}x²)²}$$
Da dies hier nur zeigen soll, wie die Quotientenregel funktioniert, hören wir an diesem Punkt auf.
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