Rekonstruktion von Funktionen

Rekonstruktion von Funktionen wird als Aufgabentyp auch Steckbriefaufgaben oder Funktionssynthese genannt.

Als erstes Beispielvideo der Klassiker der Rekonstruktion einer quadratischen Funktion aus drei Punkten:

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Die 30-40 Videos zu diesem Thema habe ich so vorstrukturiert:

• Funktionsarten
• Bedingungen
• mit Stammfunktion/Integral
• Sachaufgaben
• Spezialfälle

Man rekonstruiert Funktionen, indem man die gegebenen Bedingungen, also Punkte, Steigungen, Krümmungsverhalten, Wendepunkte, Extrema etc. in Mathe-Sprache übersetzt, die man meistens als Sätze in der Aufgabenstellung findet manchmal aber auch am Funktionsgraphen ablesen muss.
Rekonstruktion heißt das ganze, weil man in den Aufgaben jeweils nur bestimmte Dinge über die Funktion und ihren Graphen kennt und durch sie auf die Funktionsgleichung schließen kann. Das ganze ist wie bei der Kurvendiskussion, nur rückwärts - wobei bei manchen Aufgaben auch Teile der Integralrechnung mit am Start sind.
Funktionssynthese ist aus sehr ähnlichen Gründen ein Synonym für Rekonstruktion - hier liegt aber der Fokus des Worts darauf, dass aus einzelnen Bedingungen eine Funktionsgleichung synthetisiert wird oder werden kann.
Schließlich lesen sich die Aufgaben wie Steckbriefe von gesuchten Verbrechern (Spaß ;) ) von gesuchten Funktionen, weshalb auch der Begriff der Steckbriefaufgabe diesen Bereich der Mathematik gut beschreibt und ich die Namen hier so ausführlich ausbreite.

Grundsätzlich übersetzt man also den Aufgabentext in Bedingungsgleichungen. Diese Bedingungen werden dann in ein lineares Gleichungssystem übersetzt und dieses alsdann gelöst.
Zur Veranschaulichung von ein paar der wichtigen Bedingungen, hier ein kleiner Anreiz für einen "Merkzettel"

Funktionsarten

• ganzrationale Funktionen
• Parabeln
• Gebrochenrationale Funktionen
• E-Funktionen
• Trigonometrische Funktionen

ganzrationale Funktionen

Die Rekonstruktion einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit Punkt, Wendepunkt und Wendetangente .
Eine Funktion vierten Grades soll in der nächsten Aufgaben synthetisiert werden, wir kennen Punkte, Wendepunkte und waagerechte Tangenten .

Weitere ganzrationale Funktionen auch bei den Bedingungen.

Parabeln

Von einer Parabel sind zwei Punkte bekannt und dass ihr Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt.
Eine ganzrationale Funktion zweiten Grades, aka quadratische Funktion oder der eine Parabel hat ein Extremum im Wendepunkt von g(x)=x³-3x-2 und eine Nullstelle bei x=2 - Wie lautet die Funktionsgleichung?

Gebrochenrationale Funktionen

Die Struktur einer gesuchten gebrochenrationalen Funktion muss entweder im Aufgabentext bekannt gegeben sein - und dann sind Dinge gegeben wie
Asymptote und die Polstelle und eine Nullstelle und wir sollen eine Funktion der Form $$f(x)=\frac{ax²+bx+c}{x+d}$$ finden. Oder aber es geht um eine "mögliche Funktionsgleichung": In dieser Rekonstruktionsaufgabe geht es um Vokabeln Asymptote, Nullstellen und gerader Pol (oder Polstelle ohne Vorzeichenwechsel)

$$f(x)=\frac{ax²+bx+c}{x}$$ die durch den Punkt P(1/2) und deren Asymptote die Winkelhalbierende des ersten Quadranten ist

E-Funktionen

Das erste Beispiel zu e-Funktionen kümmert sich um die Struktur e^kx

Trigonometrische Funktionen

Die Parameter trigonometrischer Funktionen und wie man sie aus dem Graphen abliest .
Und eine Serie zu trigonometrischen Funktionen der Form $$f(x)=a \times sin(b(x-c))+d$$ oder für cos: $$f(x)=a \times cos(b(x-c))+d$$. Es sollen die Parameter a (für Amplitude), b (für Frequenz), c (für Verschiebung entgegengesetzt der x-Richtung) und d (Verschiebung in y-Richtung) bestimmt werden. Insgesamt fünf Videos.

Bedingungen

Es gibt sehr viele Bedingungen für die Funktionssynthese, die in den nächsten Videos behandelt werden:

• Allgemeine Funktionsgleichungen und Punkte
• Die Zeichnung oder wieviele Nullstellen, Extrema und Wendepunkte hat denn eine Funktion wie die, die uns gegeben wird?
• Symmetrie, Tangenten und Nullstellen
• Spezielle Punkte, Extrema, Extrempunkte, Wendepunkte
• Zusammenfasssungsvideo zu "allen" Bedingungen
• Wendetangente und Polynomfunktion dritten Grades
• Kein Funktionsgrad angegeben, Wendepunkt im Ursprung, Extremstelle und die dritte Ableitung lautet f(x)=6
• Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat im Ursprung die Steigung 1, ändert die Krümmungsrichtung bei x=1 und schneidet g(x)=1/3x+1/4 im Punkt P(1/f(1)) senkrecht

mit Stammfunktion/Integral

Wir kennen nur die 2. Ableitung einer Funktion und haben ein paar Informationen über den Wendepunkt und die Wendetangente Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat einen Extrempunkt und einen Wendepunkt und das spezielle an dieser Aufgabe im Video ist die Formulierung: "die eingeschlossene Fläche rechts der Ordinate beträgt"

Sachaufgaben

Das besondere an Sachaufgaben im Bezug zu Rekonstruktion von Funktionen ist, dass die Bedingungen in das Sachthema eingebettet sind - Beispiele:

• Rekonstruktion eines kubischen Splines
• Eine komplette Rekonstruktion am Beispiel einer Sachaufgabe

Spezialfälle

• Rekonstruktion mit Freiheitsgraden
• Unterbestimmung bei Steckbriefaufgaben führt dazu, dass wir auf eine Funktionsschar stoßen - oder man kann 2 Parameter frei wählen.
• Eine Rekonstruktionsaufgabe kann auch nicht möglich sein .
• Eine Steckbriefaufgabe oder Rekonstruktion einer Funktion ohne dass der Funktionsgrad der ganzrationalen Funktion in der Aufgabenstellung steht. In diesem Fall liegt der Haken bei der Wendetangente t(x)=0,5x-3, in der 2 Informationen / Bedingungen versteckt sind.

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