Stammfunktion e-Funktion
Stammfunktionen der e-Funktion und ein wenig abgewandelter e-Funktionen kommmen immer wieder in Aufgaben gerade auch im Abitur vor.
Wie Du jede weitere Funktion integrieren kannst, siehst Du im Übersichtsbeitrag.
Im ersten Video geht es um die Basisübungen, es wird jeweils die Stammfunktion gebildet (integriert) von
$$f(x)=e^x$$
$$f(x)=e^{-x}$$
$$f(x)=-e^{-x}$$
$$f(x)=-e^x$$
$$f(x)=e^{x+2}$$
$$f(x)=e^{2x+4}$$
$$f(x)=\frac{1}{3}e^{\frac{1}{2}x+2}$$
- Die Stammfunktion einer parametrisierten E-Funktion ist gesucht und die Lösung wird in zwei Videos auf unterschiedlichen Wegen gezeigt und was deutlich werden dürfte ist, dass man nicht unbedingt auf einen Weg festgelegt ist, dass aber durchaus mal einer der Wege sehr viel weniger Zeit kosten kann.
- Das unbestimmte Integral der Exponentialfunktion $$f(x)=(a-0,5x) \times e^{2- \frac{x}{a}}$$ soll bestimmt werden . Mit Probe!
- Eine Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung im Bereich der Exponentialfunktionsscharen von Herrn Brinkmann in 8 Teilen .
- Partielle Integration oder Produktintegration einer e-Funktion .
- Integration durch Substitution auf mehreren Wegen am Beispiel von e-Funktionen
- Mit partieller Integration zur Stammfunktion von $$e^x \times sin(x)$$. Mit Trick zum Merken!
- Kombination von Produktintegration und Substitution mit Exponentialfunktion
- Und hier noch mal ein paar Hinweise, was man sich alles zur Stammfunktion bei e-Funktionen merken kann:
Weiterführende Fragen und Aufgaben:
- Allgemeine Fragen zur Stammfunktion von e-Funktionen
- mit partieller Integration / Produktintegration
- mit Substitution und linearer Kettenregel
- Zeige, dass gegebene Funktion eine Stammfunktion ist
Allgemeine Fragen zur Stammfunktion von e-Funktionen
Aufgabe:
$$f(t)=\frac{2e^{at}}{e^{at}+29}$$
Lösung:
$$F(t)=\frac{2ln{(29 + e^{at})}}{a}+C$$
Aufgabe:
$$e^{-\frac{1}{2}x^2}$$
Antwort: Das ist ja das "gaußsche Fehlerintegral"... da gibt es keine elementare Stammfunktion zu...
- Als erstes möchte ich mich rechtherzlich bei dir bedanken für deine große Mühe und Aufwand. Nun zu meiner Frage. Kann man das C bei einer Stammfunktion weglassen, ist die Stammfunktion dann falsch. Denn ich habe gestern 'ne Mathe Klassenarbeit geschrieben und habe bei den Aufgaben vergessen ein C dahinter zu schreiben.
Antwort:
das wird leider Punktabzüge geben... ich vergess das auch manchmal, weil es bei der Berechnung von bestimmten Integralen auch keinen Unterschied macht - aber... da sind die meisten Klausurbewerter unbarmherzig... ;(
- Irgendwie habe ich das alles ganz anders gelernt. Hoffe ich verwechsel da nichts?
Denn zum Beispiel würde ich
x² zu $$\frac{1}{3}x^3$$
Antwort:
Deine Rechnung zu x² ist absolut richtig - aber verschiedene Funktionstypen und Funktionsstrukturen verlangen unterschiedliche Maßnahmen ... :)
Schau mal hier rein
- Das scheint näher an Deinem Thema dran zu sein.
$$r(t)= 23-0.02 \times e^t$$
Lösung ist
$$R(t)=23t-0,02e^t+C$$
mit partieller Integration / Produktintegration
Für einige der Funktionen, die im Folgenden zur Übung bereit stehen, brauchst Du die lineare Kettenregel - immer dann, wenn im Exponenten der e-Funktion eine lineare Funktion steht.
- Also ich hänge jetzt an dem Begriff 'Faktorregel'.
und zwar habe ich die Funktion: $$f(x)=(x^2-3x+4)e^x$$
Jetzt bin ich am überlegen ob $$F(x)=(\frac{1}{3}-\frac{3}{2}x^2+4x)e^x$$ ist oder was anderes. Ein Online-Stammfunktionrechner sagte mir das es: $$F(x)=e^x(9+(-5+x)x)$$ wäre, was ich aber überhaupt nicht nachvollziehen kann.
Antwort:
Bei der Funktion $$f(x)=3e^x$$ bleibt die 3 als Faktor vor dem e^x erhalten und wir müssen uns dann nur noch auf e^x stürzen.
Deine Aufgabe benötigt hingegen die Produktintegration oder die partielle Integration - Links dazu findest Du oben unter dem Video.
-
Aufgaben $$(3x-2)e^{2x+2}$$ $$f(x)=(x^2-2)e^{0.5x})$$ $$f(x)=xe^x$$ $$f(x)=(x-2)e^x$$ $$f(x)=-4xe^x$$ $$f(x)=-4 e^x (x-1)+c$$ $$a(t)=4te^{(-0.2t)}+10$$ Lösung: $$F(t)=e^{(-0,2 t)} (-20 t-100)+10 t+c$$
-
Antwort: oben in den Links zur partiellen Integration sind hilfreiche Videos zur Bewältigung und Lösung der Aufgabe enthalten.
-
Aufgabe: Wie bilde ich die Stammfunktionen der folgenden e-funktionen.
$$(2x+1)e^{1+x}$$ $$2xe^{(1+x)}$$
Antwort:
Mit partieller Integration, wie oben in den Links. Es kann aber auch sein, dass ihr das mit Koeffizientenvergleich gemacht habt
In jedem Falle sind die Ergebnisse zur Kontrolle:
$$f(x)=(2x+1)e^{1+x}$$
$$F(x)=e^{1+x}(2x-1)$$
und
$$f(x)=2xe^{1+x}$$
$$F(x)=2(e^{1+x}(x-1))$$
mit Substitution und linearer Kettenregel
Substitution und lineare Kettenregel
Aufgaben, die mit der linearen Kettenregel gelöst werden können:
Aufgabe
$$f(x)=2e^{1-x}$$
Lösung:
$$f(x)=-2e^{1-x}$$
Aufgabe
$$f(x)=2^x$$
Hinweis: erst umwandeln:
$$e^{ln(2)x}$$
Aufgaben:
$$f(x)=4^x$$
$$f(x)=4^{2x}$$
$$f(x)=2^{x-2}$$
$$f(x)=5e^{3x+7}$$
Aufgabe:
$$f(x) = 2e^{-4x-2}$$
Lösung:
$$F(x) = -\frac{1}{2}e^{-4x-2}+C$$
Aufgabe:
$$f(x)=0,001e^{(4,61x)^2}$$
Ansatz:
da kannst Du einmal mit den Potenzgesetzen das Quadrat in die Potenz mit einrechnen
Lösung:
$$F(x)=0,000001e^{9,22x}+C$$
Substitutionsaufgaben:
$$f(x)=(4-e^x)e^x$$
ich würde vorschlagen, auszumultiplizieren:
$$(4-e^x)e^x=4e^x-e^{2x}$$
und dann substituieren und integrieren
Aufgabe:
$$f(x)=k e^{-kx}$$
Lösung:
$$F(x)=-e^{-kx}+C$$
Aufgabe:
$$f(x)=x^3 e^{(-0,5x^2)}$$
Hier mal eine, die nahe dran ist an Deiner Funktion
Ergebnis:
$$F(x)=e^{-0,5 x^2} (-x^2-2)+C$$
Man kann das ganze auch mit Koeffizientenvergleich machen
Zeige, dass gegebene Funktion eine Stammfunktion ist
- Könntest du mir bitte hierbei helfen:
$$\frac {e^x}{(1+e^x)^2}$$
Davon brauche ich die Stammfunktion, bzw soll ich zeigen, dass $$\frac {-1}{e^{x+1}}$$ eine Stammfunktion ist.
Antwort:
Mir scheint, dass die zweite Variante gefordert ist, also zu zeigen, dass die gegebene Stammfunktion auch wirklich eine Stammfunktion ist...
Dazu musst Du zeigen, dass F'(x)=f(x) ist - also musst Du die gegebene Stammfunktion ableiten...
$$\frac {-1}{e^{x+1}}$$) ist umgeschrieben: $$-e^{-x-1}$$ Und dazu geb ich Dir erst mal den Link zur Kettenregel mit e-Funktion ableiten
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