Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion: Induktionsanfang Induktionsvoraussetzung und Induktionsschluss sind immer am Start, trotzdem gleichen sich die Lösungswege nur im Prinzip:
Hier werden die geraden Zahlen zusammengefasst und bewiesen:
Vollständige Induktion erste n Kubikzahlen
Hier werden die ungeraden Zahlen zusammengefasst und bewiesen:
Und hier die vollständige Induktion der Potenzreihe 1+q+q^2+...+q^(n-1)+q^n:
Aus dem ersten Video:
Wir wollen uns mit der vollständigen Induktion beschäftigen.
"Beweisen lernt man nur durch beweisen".
Vollständige Induktion bedeutet, dass es immer einen Dreischritt gibt:
1. Induktionsanfang
2. Induktionsvoraussetzung
3. Induktionsschluss
Beispiel: 2+4+6+8+...+2m=m* (m+1)
m ist hier die Variabel.
Zum Induktionsanfang:
Man muss eine Sache haben, an der man einfach zeigen kann, dass es funktioniert.
Deshalb: m = 1 : 2=1 (1+1)
2=2
Der Induktionsanfang gestaltet sich immer gleich.
Wir haben hier eine Folge von Zahlen, die zusammen addiert wird.
Die Variabel m ist das erste Folgenglied.
Beim ersten Folgenglied kommt eine 2 raus.
Dann müssen wir zeigen, dass für das Folgenglied die Gleichung m (m+1) funktioniert.
Bedeutet, wir setzten für das m die 1 ein.
Also: 2= 1 (1+1)
--> 2= 1 2
--> 2=2.
Man nimmt gerne die 1 dafür.
Wir gehen sachlich daran: Wir sagen, dass das erste Glied der Beispielgleichung in der Gleichung mit der Variablen m erfüllt sein muss.
Die Bedingung dafür ist, dass wir eine 1 einsetzen.
Genauso, wie das erste und das zweite Glied (2 und 4) addiert 6 ergeben.
Induktionsvoraussetzung:
Also: 6= 1 (2+1)
--> 6= 2 3
--> 6= 6
Festzuhalten ist, dass beim Induktionsanfang immer eine wahre und sinnvolle Aussage (2=2; 6=6) entstehen muss.
Induktionsvoraussetzung:
Die Beispielgleichung einfach nochmal hinschreiben.
Die Voraussetzung ist das, was gegeben wird und es zu beweisen gilt.
Induktionsschluss:
Der Induktionsschluss ist eigentlich die Induktionsvoraussetzung.
2+4+6+8...+2m
Das letzte Glied + 2 (m+1) kommt dazu.
m wird um 1 erweitert und die 2 bleibt stehen.
--> 2+4+6+8+...+2m+2 (m+1)
Wir erweitern den Teil, der nach dem = auftaucht, ebenfalls um 1.
Klammern müssen wegen des Bezugs gesetzt werden!
--> 2+4+6+8+...+2m+2 (m+1)= (m+1)(m+2) <--Der Induktionsschluss den es zu beweisen gilt.
Alternative Schreibweise: k(m)+2 (m+1)= m (m+1)+2 (m+1).
k(m) steht für den linken Teil der Beispielgleichung.
Jetzt müssen wir zeigen, dass = (m+1)(m+2) und = m(m+1)+2 (m+1) gleich sind, bzw. dass man von der zweiten auf die erste kommt.
Nun m(m+1)+2 (m+1) ausrechnen.
Ergibt: m²+m+2m+2, zusammengefasst: m²+3m+2.
Wir haben m(m+1)+2 (m+1) ausgerechnet.
Wir müssen beweisen, dass man davon auf (m+1)(m+2) schließen kann.
Das machen wir, indem wir einfach durch eine der Klammern aus (m+1)(m+2) teilen.
Also: m²+3m+2 :(m+1) = m+2
Da die zweite Klammer der Gleichung das Ergebnis ist, darf ich schreiben, dass es das Produkt der Linearfaktoren ist.
Es gilt als bewiesen und wir sind fertig.
Und wer bis hier gekommen ist, findet auch noch das Mathe-Video zum Beweis der Gaußschen Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen:
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