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Die Ebene in Koordinatenform soll in Achsenabschnittsform umgeformt werden. Das ist einfacher als man denkt, aber immer diese Mathevokabeln...

Umwandlung von Koordinatenform in Achsenabschnittsform

Wenn eine gegebenen Ebene in Koordinatenform (KF), beispielsweise

E: 0x + 3y – 3z = -6

in eine Ebene in Achsenabschnittsform (AAF) umgewandelt werden muss, dann ist nur ein Schritt zu tun:

Die KF unterscheidet sich von der AAF dadurch, dass in der AAF für d nur der Wert 1 infrage kommt. Im Beispiel ist d = -6, die Beispielgleichung muss also durch -6 geteilt werden.

0x + 3y – 3z = -6 | : (-6)
0x – (1/2)y + (1/2)z = 1

Damit ist die Gleichung aus der KF bereits in die AAF umgewandelt.
Diese Umwandlung kann sinnvollerweise auch notiert werden als

0x + y/(-2) + z/2 = 1

Auf ganz einfache Weise sind daraus in Form der Nenner die Achsenabschnittspunkte erkennbar. Werden nämlich die Werte für x und z im Beispiel gleich 0 gesetzt, dann ergibt sich die Gleichung

y/(-2) = 1 |*(-2)
y = -2

und damit der Punkt:
Y (0/-2/0)
und, wenn x und y gleich 0 gesetzt werden, der Punkt:
Z (0/0/2)
Diese Punkte beschreiben die Schnittpunkte der gegebenen Ebene mit der y-Achse bzw. der z-Achse. An diesen Koordinaten schneiden sich die gegebene Ebene und die jeweilige Achse aus dem Koordinatensystem.
Daher der Name Achsenabschnittsform.

Sind die Achsenabschnittspunkte einmal gefunden, kann einerseits ganz einfach wieder die Punktrichtungsgleichung aufgestellt werden (siehe entsprechendes Video), andererseits besteht nun keine Schwierigkeit mehr, die Ebene zu zeichnen.
Angenommen, für die mit der AAF ermittelten Punkte X (1/0/0), Y (0/2/0) und Z (0/0/3) ist eine Ebene zu zeichnen, so können diese Punkte im Koordinatensystem eingetragen und anschließend miteinander verbunden werden. Schon hat man die geforderte Ebene.
Verwendet man andere Ebenenformen, ist dieses Ergebnis weitaus schwieriger herzustellen.

Viel Erfolg!

Alle Beiträge zum Thema Ebenengleichungen umwandeln und zur Übersicht Vektorrechung findest Du, wenn Du auf diese Bild klickst:

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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