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Additionsverfahren zum Lösen von Gleichungssystemen

Mit dem Additionsverfahren kann man ein lineares Gleichungssystem lösen. Dabei gibt es eine einfache Methode, mit der man schnell auf die richtige Lösung kommt. Es werden, wie der Name schon sagt, Gleichungen addiert. Natürlich bringt es nichts, wenn man einfach so Gleichungen addiert. Man will ja schließlich das Gleichungssystem lösen und auf die Lösung kommen. Deswegen braucht man einen kleinen Trick:
Man verändert entweder eine Gleichung oder mehrere Gleichungen. Diese Umformung oder Änderung an einer oder mehreren Gleichungen folgen einem ganz bestimmten Plan:
wenn man nach dieser Veränderung die beiden Gleichungen addiert, dann fällt eine der Variablen weg.
Im Gauß Verfahren wird das Additionsverfahren verwendet, um mit einem Schema (Algorithmus) möglichst schnell die Lösung eines linearen Gleichungssystems zu finden.
Das Additionsverfahren wird auch Subtraktionsverfahren genannt und es funktioniert sowohl bei Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen wie auch bei drei Gleichungen und drei Variablen.
Wenn dir die Verfahren zum Lösen in der Klassenarbeit oder Klausur in Mathematik freigestellt sind, dann benutze unbedingt immer das Verfahren, welches dir am meisten liegt. Dabei stehen Dir zur Verfügung:

Additionsverfahren Beispiel

In diesem Beispiel geht es mir wirklich nur um das Schema. So kannst du immer vorgehen.

Erster Schritt: Das Gleichungssystem wird aufgeschrieben


Unser Ziel ist es, in der zweiten Zeile nur noch Y stehen zu haben, nachdem wir die beiden Gleichungen addiert haben. Schauen wir uns zum Spaß mal an, was passiert, wenn wir die beiden Gleichungen einfach so addieren:
I.+II.

(2x+3y)+(3x+6y)=4+30

Hier kannst du sehen, dass so das X nicht wegfällt. Nehmen wir aber die zweite Gleichung mit -2/3 mal, sieht das ganze schon anders aus:

Zweiter Schritt: Die Variablen werden zum Addieren vorbereitet


Dadurch, dass wir eine Gleichung mit einem Faktor mal nehmen, verändern wir Ihre Aussage nicht. Das klingt erstmal ein bisschen komisch aber wenn du dir anguckst:

Multiplizieren einer Gleichung ändert den Wert der Variablen nicht


dann siehst du, dass für die beiden Gleichungen jeweils X=2 die Lösung ist. Doch zurück zu unseren Gleichungssystem von oben. Es lautet jetzt nach der Umformung:

In diesem Gleichungssytem fällt durch addieren eine der Variablen weg


Und wenn wir diese beiden Gleichungen jetzt addieren, dann fällt der Term mit X weg. Das sieht dann so aus:

Das Gleichungssystem addieren

Jetzt rechnen wir II.2. aus und stellen dabei fest, dass 2X plus -2X eben gleich Null X ist und somit X in der zweiten Gleichung keine Rolle mehr spielt und für Y ausrechnen können. Als erstes Ergebnis für eine der Variablen  bekommen wir also y=1 heraus. Diese Lösung können wir jetzt in die erste Gleichung einsetzen, um sie dann nach der Variablen X aufzulösen:

2x+3*16=4
2x+48=4        |-48
2x=-44          |:2
x=-22
Damit ist dann auch die Lösungsmenge gefunden und man schreibt als Ergebnis dieses Gleichungssystems: |L={-22;16}

Der Trick beim Additionsverfahren

Bei diesem Trick muss man zwei Dinge beachten:
1) man guckt sich die Koeffizienten (das sind die Zahlen vor einer Variablen) an. Hier gibt es zwei Fälle:
a. die beiden Zahlen haben das gleiche Vorzeichen
b. die beiden Zahlen haben unterschiedliche Vorzeichen

2) man multipliziert die zweite Gleichung mit dem Quotienten aus den Koeffizienten von X aus der ersten Gleichung geteilt durch den Koeffizienten des X aus der zweiten Gleichung. Für die zwei Fälle aus 1)
a. Schreibt man noch ein minus davor
b. Schreibt man kein minus davor

3) Jetzt rechnet man die zweite Gleichung aus und addiert dann die beiden Gleichungen.

Ein alternativer Weg zur Lösung

Wer lieber mit ganzen Zahlen als mit Brüchen rechnet, wird mit dieser Alternative besser klarkommen. Nehmen wir wieder das Gleichungssystem von oben:

I. 2x+3y=4
II. 3x+6y=30

Statt nur die zweite Gleichung mit einer Zahl mal zu nehmen, kann man auch beide Gleichungen verändern. Zuerst einmal das Beispiel.
Wenn ich die erste Gleichung mit -3 Mal nehme und die zweite Gleichung mit zwei mal Nenner ergibt sich folgendes:

I. -6x-18y=-12
II. 6x+12y=60

hier kann man jetzt sehen, dass die Koeffizienten von X in der ersten und zweiten Gleichung gegen Zahlen sind. Und wenn ich Gegenzahlen addiere komm null heraus. Und dass er genau das, was ich will: Addieren, so dass in einer Zeile eine der Variablen wegfällt.

Übungsaufgaben zum Additionsverfahren beim Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen

Hinweis: Bei einigen dieser Gleichungssyteme musst Du zu Beginn die Gleichungssysteme noch umstellen. Also die einzelnen Gleichungen erst so umformen, dass Du das Verfahren anwenden kannst.
Additionsverfahren Gleichungssysteme Übungsaufgaben pdf


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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