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Die Bernoulli-Formel wird immer dann genutzt, wenn es um mehrstufige (n) Zufallsversuche geht, die eine gleichbleibende Wahrscheinlichkeit (p) für einen Erfolg (mancher sagt auch Treffer) hat und bei der wir uns für die Wahrscheinlichkeit von mehreren (k) Treffern interessieren.

 Die Einführung zu Bernoulli von Herrn Brinkmann ist das erste Video: Hinweis: Im ersten Video kommt bei 1:24 ein Versprecher vor - die Misserfolgswahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln ist natürlich 5/6.

Binomialverteilung Bernoulli Sammlung

Aus dem Video Bernolli Einführung

Wir haben immer Aufgaben gegeben, wo zum Beispiel ein Münz- oder Würfelwurf darin vorkommt. Beim Würfelwurf wird die Wahrscheinlichkeit auf eine Eins durch mehrmaliges Würfeln nicht geringer. Bei Bernolli Versuchen geht es immer um einen mehrstufigen Zufallsversuch, bei dem die Wahrscheinlichkeit für ein definiertes Ereignis gleich bleibt und das immer nur einen Erfolg ODER Misserfolg haben kann. Im Prinzip haben wir eine Baumstruktur und eine gleichbleibende Erfolgswahrscheinlichkeit vorgegeben und definieren etwas als Erfolg, z.B. eine 6 beim Mensch-ärger-dich-nicht Spiel. Der Erfolg wäre 1/6, ein Misserfolg 5/6.

Jetzt zum aufgezeichneten Baumstamm. Ein Würfel wird jetzt drei mal geworfen. Dafür haben wir jetzt die drei Stufen aufgezeichnet. Drei mal hintereinander eine 6 wäre 1/6 * 1/6 * 1/6. Die Trefferzahl TZ und die Wahrscheinlichkeit können wir auch berechnen für die Trefferanzahl. Die Trefferanzahl heißt k, als TZ (k). Wir haben jetzt 0, 1, 2 und 3 Treffer. Beim 3-stufigen Zufallsversuch geht es maximal bis 3, beim 10-stufigen bis 10. Die Wahrscheinlichkeit bei 3 ist 1/6 * 3, also 1/6^3. Für zwei Erfolge haben wir immer zwei Pfade nach oben gehend. Diese Pfade können wir jetzt zusammenfassen, nämlich 1/6 * 1/6 * 5/6 plus 1/6 * 5/6 * 1/6 plus 5/6 *1/6 * 1/6. Das ergibt eine Rechnung von 3 * (1/6)^2 + 5/6. Bei einem Erfolg ergibt sich eine Rechnung von 3 * 1/6 + (5/6)^2, da wir hier drei Pfade haben. Bei null Erfolgen lautet die Rechnung 1 * (5/6)^3.

Die Trefferanzahl ergibt jeweils immer n über k. 3 über 0 ist gleich 1, 3 über 1 ist 3 usw. Wir machen jetzt mit der Wahrscheinlichkeit längst des Pfades weiter. Merken: Nach oben geht Erfolg, nach unten Misserfolg. Alle Pfade haben immer ein 1/6 gemein. P ist also gleich 1/6. 5/6 ist somit 1 – p. 1/6 + 5/6 muss 1 ergeben. Wir haben somit in jedem Pfad p hoch k, weil k gleich 2 und n gleich 3 war. Wir würfeln drei mal und die Trefferhäufigkeit sollte 2 sein. p, k und n müssen immer gegeben sein. Wir haben hier jetzt p^2, weil p mit sich selbst Mal genommen wird. An dieser Stelle sind wir bei der Formel P (x) = (n/k) * p^k * 1 –p^(n-k). Damit können wir immer bei einer Bernolli Aufgabe ganz schnell zu einem Ergebnis kommen.

Daran schließt sich eine Aufgabe zum Mensch-ärgere-Dich-nicht an, die mit der Formel von Bernoulli gelöst werden kann:

Und zu vorläufiger Letzt eine Standardaufgabe zur Bernoulli-Formel: Der Multiple-Choice-Test.

Die Einführung und die Multiple Choice Aufgabe zu Bernoulli sind übrigens mit freundlicher Unterstützung von Herrn Brinkmann! 


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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