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Bruchgleichungen lösen

Bruchgleichungen aufzulösen beginnt meist mit der Multiplikation mit dem oder den Nennern. In dieser Videoserie werden zunächst verschiedene Beispiele vorgestellt, die dann mit weiteren An- und Nachfragen erweitert werden soll, bis jeder Spezialfall abgedeckt ist.

Den Anfang macht eine Gleichung bei der rechts und links des Gleichheitszeichens ein Bruch steht, bei denen im Zähler kein x vorkommt:

Aus dem ersten Video Bruchgleichungen sinnvoll auflösen

Die Bruchgleichung, die aufgelöst werden soll, lautet in unserem Beispiel

2x+2=3x-1

Ziel ist es, den Nenner bzw. in unserem Beispiel die Nenner aus der Bruch „herauszukriegen“, damit als Ergebnis x=? ohne Bruch angegeben werden kann. Dies gelingt, indem der gesamte Term zunächst mit dem Nenner des hinteren Bruchs multipliziert wird. So erhalten wir den Zwischenschritt

2x+2x-11=3

bzw. in einem Bruch zusammengefasst:

2×(x-1)x+2=3

Nun ist es an der Zeit, die erhaltenen Gleichungen mit dem zweiten Nenner zu multiplizieren, um auch den ersten Bruch aufzulösen. Die beiden Seiten der Gleichung werden also mit (x+2) multipliziert.

Es ergibt sich der Term

2(x-1)=3(x+2)

Wie bereits an den Gleichungen zu sehen ist, ist es uns durch das Ausmultiplizieren gelungen, die Brüche aufzulösen, so dass zwei lineare Gleichungen entstehen.

Im nächsten Schritt ist es nun notwendig, die Gleichungen aufzulösen. Aus den Gleichungen

2(x-1)=3(x+2)

ergibt sich durch Ausmultiplizieren

2x-2=3x+6

Das Ergebnis rückt immer näher. Nach diesem Schritt werden die Zahlen mit der Variabel x auf eine Seite des Terms gebracht, die restlichen Zahlen auf die andere Seite. Der Term 2x-2 = 3x+6 wird Schritt für Schritt aufgelöst. Die 2x des Terms 2x-2 = 3x+6 werden auf die linke Seite gebrachte (-2x), sodass der Term zu -2 = x+6 wird, bei dem auch die 6 auf die linke Seite gebracht wird (-6). Als Ergebnis erhalten wir -8=x.

Natürlich können bei dieser Rechnung Fehler auftreten. Deswegen ist es nützlich, eine Probe durchzuführen. Um dies zu tun, muss das Ergebnis (-8) bei dem Anfangsterm für die Variabel x eingesetzt werden. Der Term lautet in unserem Fall 2/(-8+2) = 3/(-8-1). Die jeweiligen Nennen besitzen keine Variablen mehr und lassen sich so zu 2/-6 = 3/-9 addieren. Die dadurch entstandenen Brüche werden gekürzt, so dass sich der Term 1/-3 = 1/-3 ergibt. Die Probe bestätigt, dass x=-8 das richtige Ergebnis ist.

Als zweites Video kommt ein Fall dran, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner x'e enthalten - dabei wird das umformen nicht mehr wie im ersten Video in einzelnen Schritten gemacht, sondern ein wenig schneller:

Im dritten Teil gibt es einen ersten Hinweis auf das sogenannte Hauptnennerproblem, das dann im vierten Video deutlicher zu Tage tritt:

Und im vierten Video dann einerseits das Hauptnennerproblem und zusätzlich noch ein Ergebnis, welches nicht im Definitionsbereich enthalten ist - also schon mal der Spezialfall: Nach Auflösen der Gleichung haben wir zwar ein Ergebnis, aber keine Lösung...

Und hier eine Ergänzung zu der Gleichung

32x-2+74x+4=4x+1

mit der Lösung x=5

Und eine weitere Übungsaufgabe zu der Bruchgleichung

10x-16x+3-6x+22(2x-1)=4x2-60x+224x2-6

mit der Lösung x=1

Weitere Videos zum Thema Bruchgleichungen auflösen

    Gleichung mit Doppelbruch auflösen

    Gleichungssystem mit Brüchen

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    Ausklammern und Kürzen Spezial aus Bruchsumme im Nenner

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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