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Bruchrechnen - was macht man da?

Bruchrechnen oder Bruchrechnung ist das Rechnen mit Brüchen. Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner. Der Bruchstrich in einem Bruch steht für "geteilt". Also teilt man Zähler durch Nenner. Mit Brüchen kann man alles rechnen, was man auch mit anderen Zahlen rechnen kann, zum Beispiel kann man Brüche subtrahieren, addieren, dividieren und multiplizieren, potenzieren.

Inhaltsverzeichnis Bruchrechnung

Was sind Brüche?

Bruchzahlen bilden die Menge der rationalen Zahlen. Ein Bruch gibt nämlich einen Anteil "Zähler von Nenner" an, weshalb auch in der Prozentrechnung immer wieder Bruchzahlen vor kommen. Alle Videos zur Bruchrechnung findest Du hier auf OberPrima als kostenlose Nachhilfe.
Ein Bruch besteht aus einem Zähler und einem Nenner. Haben zwei Bruchzahlen denselben Nenner, nennt man sie gleichnamig. Der Nenner gibt dem Bruch nämlich seinen Namen.

Bruchrechnen Beispiel gleichnamige Brüche

Es gibt noch ein paar Vokabeln zur Bruchrechnung, die man sich merken sollte:

  • Unechter Bruch: Das ist ein Bruch den man noch kürzen kann. Nach dem Kürzen wird aus dem unechten Bruch ein echter Bruch
  • Bruchrechnung: unechter Bruch und kürzen
  • Gemischte Zahl: Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Ein Bruch kann immer als gemischte Zahl geschrieben werden, wenn der Zähler größer ist als der Nenner.

Bruchrechnen Bruch mit Zähler und Nenner

Was kann man sich nun unter diesem Bruch vorstellen? Was gibt der Bruch an?

Dreiviertel bedeutet, dass von vier Teilen drei gemeint sind. Zum Beispiel drei Stücke Kuchen sind noch übrig. Vorher waren es vier. Oder so: man schneidet einen Kuchen durch, so dass vier gleich große Stücke entstehen. Dann isst man ein Stück davon auf und übrig bleiben drei von den vier Teilen. Und das sind dann dreiviertel.
Man kann das aber auch so machen:

Vorstellung eines Bruches beim Bruchrechnen

In diesem Bild steckt auch die Bedeutung des Bruches drin. Dreiviertel der Strichmännchen haben keinen Kopf, lol. Die Bruchrechnung ist eine wichtige Grundlage für wirklich alle späteren Bereiche der Mathematik, denn überall muss man mit Brüchen rechnen. Deshalb ist es wichtig, dass man das Bruchrechnen gut übt.

Brüche addieren

Bei der Addition von Bruchzahlen ist es unglaublich wichtig auf die Nenner zu achten, dass hier ist jetzt der erste Teil Bruchrechnen. Wenn der Nenner wie bei Aufgabe 1 schon gleich ist, dann können wir den Nenner einmal hinschreiben und die Zähler addieren. In diesem Fall :
½ + ½ = 1+1/2 = 2/2 = 1
Bei der zweiten Aufgabe von 1 kann man wieder den Nenner 3 übernehmen und addiert die Zähler 1 und 4. Dann kommt man auf 5/3, als gemischte Zahl 1 2/3. In Aufgabe 2 haben wir einen Sonderfall, denn hier ist der Hauptnenner einer von den beiden Nennern. Die 4 kommt ja in der 2er-Reihe vor, dass bedeutet wir können den ersten Bruch auf den Nenner des zweiten Bruches erweitern.
Erweitern bedeutet, den Zähler und den Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl mal zu nehmen. Um herauszubekommen mit welcher Zahl der Bruch multipliziert werden muss, teilen wir den größeren Nenner durch den kleineren Nenner.
Das Ergebnis in diesem Fall ist : 4 geteilt durch 2 gleich 2.
Wir müssen also wie folgt rechnen :
1*2/2*2 + ¾ =  2/4 + ¾  = 2+3/4 = 5/4 als gemischte Zahl: 1 ¼.
In der zweiten Aufgabe von Nr. 2 können wir sehen das der größere Nenner 21 in der 7er-Reihe vor kommt und zwar sind 3 mal 7 gleich 21.
Wir erweitern den Bruch also mit 3 :
1/7 + 13/21 = 1*3/7*3 + 13/21 = 3/21 + 13/21 = 3+13/21 = 16/21
Das kürzen wird sich hier erübrigen, da  wir die 13/21 am Anfang auch nicht kürzen können.
Wenn vorne 14/21 stehen würde, dann hätten wir das ganze am Anfang kürzen können.
Allerdings hätte uns das ganze auch nicht viel gebracht.
Das kann man aber trotzdem einmal umrechnen, ich empfehle nämlich trotzdem sich diese ganzen Beispiele nochmal selber umzuformen und dazu möchte ich jetzt nochmal ein paar Worte verlieren.
Wir können nämlich diese Aufgaben ganz schnell verändern, dass kann jeder für sich selber tun und die sind dann alle nachher nach dem selben Schema.
In der Aufgabe Nr. 2 kann man zum Beispiel den zweiten Bruch von ¾ auf 3/8 verändern, diese Zahl kommt nämlich auch in der 2er-Reihe vor.
So kann man ganz schnell weitere Aufgaben, durch einfaches Verändern eines Bruches, erfinden.

Wie geht in der Bruchrechnung die Subtraktion von Brüchen?

Möchte man in der Bruchrechnung Bruchzahlen addieren oder subtrahieren, muss man sie zuvor gleichnamig machen. Beim Subtrahieren subtrahiert man dann die Zähler der Brüche und benutzt den gemeinsamen Nenner als Nenner. Dieser Nenner heißt Hauptnenner der beiden Brüche.

Brüche erweitern, wie geht das?

Multipliziert man Zähler und Nenner eines Bruches mit ein und derselben Zahl, so nennt man das erweitern mit dieser Zahl. Das Verfahren wird beim Bruchrechnen hauptsächlich dazu benötigt, Brüche vergleichbar zu machen. Dazu müssen Sie den gleichen Nenner haben. Man spricht dann auch von gleichnamigen Brüchen.

Beispiele zum Brüche erweitern

  • Erweitern wir 1/2 mit fünf, so ergibt sich der Bruch 5/10.
  • erweitern wir 2/5 mit zwei, so ergibt sich der Bruch 4/10.

Die beiden hinteren Brüche können wir jetzt vergleichen, denn vier Anteile von zehn sind weniger als fünf Anteile von zehn.

Brüche erweitern um sie zu addieren oder zu subtrahieren

Die Aufgabe lautet: 1/2+2/5
da die beiden Nenner unterschiedlich sind, können wir nicht einfach die beiden Brüche zusammen rechnen. Hier müssen wir jetzt beide Brüche so erweitern, dass sie denselben Nenner haben. Das Kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ist zehn.
Also erweitern wir die beiden Brüche jeweils das ist das Kleinste gemeinsame Vielfache. Wir müssen also den ersten Bruch mit fünf und den zweiten Bruch mit zwei erweitern und erhalten als Aufgabe:
5/10+4/10=9/10
da wir die beiden Bruchzahlen auf einen gemeinsamen Nenner erweitert haben, können wir nun die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten und so das Ergebnis errechnen.
Um Brüche Minus zu rechnen oder wie's in Schlau-Sprech heißt, Brüche zu substrahieren, müssen die Nenner gleich sein. Ansonsten ziehen wir Äpfel von Birnen ab.

Wie kann man Brüche kürzen? Wie kürzt man Brüche?

So, wie man beim Bruchrechnen Brüche erweitern kann, um sie auf denselben Nenner zu bringen, kann man auch Brüche auch kürzen. Das Wort bedeutet heißt: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen. Kurze Antwort: man teilt Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl. Zumeist ist mit dem kürzen von Brüchen in den Aufgaben jedoch gemeint, Zähler und Nenner soweit zu verkleinern, dass sie teilerfremd sind. Hier sind Fähigkeiten im Bereich der Primfaktorzerlegung erforderlich.

Brüche kürzen: ein konkretes Beispiel

Nehmen wir folgenden Bruch: 30/52. Die Aufgabenstellung ist es diesen Bruch vollständig zu kürzen.
Zerlegen wir jetzt den Zähler und den Nenner einzelnen in ihre Primfaktoren, können wir feststellen, welches ihr größter gemeinsamer Teiler ist. Dieser setzt sich dann aus gemeinsamen Primfaktoren zusammen.
30=2*3*5
52=2*2*13
An diesem Beispiel kannst du sehen, dass die beiden Zahlen 30 und 52 die zwei als einzigen gemeinsamen Faktor haben. Durch diesen kann man beide Zahlen teilen und erhält den vollständig gekürzten Bruch 15/26

Wie geht die Multiplikation von Brüchen?

Die Multiplikation bei der Bruchrechnung ist vielen lieber als das Subtrahieren oder die Addition. Hier gilt Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner. Man kann einen Bruch auch quadrieren. das bedeutet ja, die Multiplikation eines Bruchs mit sich selbst, also Bruch mal Bruch und damit kann man die Regeln der Multiplikation anwenden.

Wie kann man Brüche dividieren?

Brüche dividieren ist ziemlich genau das gleiche wie die Multiplikation von Brüchen: Hier gilt Zähler mal Nenner durch Nenner mal Zähler oder die Regel: Man teilt durch einen Bruch, in dem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Die Division von Brüchen kommt häufig auch in der Form von Doppelbrüchen vor. Dabei stehen Brüche im Zähler und im Nenner von einem Bruch.

Bruchrechnnung für die Oberstufe

Brüche in Funktionen

Das Bruchrechnung auch in der Oberstufe ein wichtiges Thema bleibt, ist vor allem an der Klasse der gebrochen rationalen Funktionen zu sehen. Von einer Funktion, in dem im Zähler und im Nenner eine Funktion steht, kann man die Ableitung oder die Stammfunktion bilden, dabei kann man den Bruch auch zerlegen müssen.

  • Bruchrechnen Ableitung von einem Bruch
  • Bruchrechnung Integration von einem Bruch

Fazit zum Bruchrechnen

  • Bruchrechnen ist wichtig für alle Bereiche der Mathematik
  • Brüche bestehen aus Zähler und Nenner
  • Der Nenner gibt dem Bruch den Namen
  • Brüche zu erweitern und Brüche zu kürzen sind wichtige Fähigkeiten
  • Bruchrechnung muss man sehr gut üben, damit man sicher mit Brüchen rechnen kann
  • Brüche müssen gleichnamig sein, um sie zu addieren oder zu subtrahieren

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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