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Die Cramersche Regel ist im Prinzip nichts anderes als das Determinantenverfahren und kann benutzt werden, um lineare Gleichungssysteme mit genauso vielen Variablen wie Gleichungen (also quadratische lineare Gleichungssysteme, z.B. mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten) zu lösen.

Cramersche Regel Video

Es geht um lineare Gleichungssysteme. Es sind die Gleichungen

10a + b – 2c = 2
a + 2b + 2c = 3
4a + 4b + 3c = 5

gegeben. Wir haben hier jetzt drei Gleichungen und die drei Unbekannte a, b und c. Nach der Cramerschen Regel heißt es, dass a gleich Determinante von A1 geteilt durch Determinante von A ist. b ist dem entsprechend gleich Determinante von A2 durch die Determinante von A und c ist gleich die Determinante von A3 durch Determinante von A. Es ist also eine Möglichkeit, die Lösung eines linearen Gleichungssystem über eine relativ übersichtliche Rechenart auszurechnen. Dazu verwenden wir das A der Determinante als Matrix. Als nächstes werden die Koeffizienten der Gleichungen hingeschrieben. Bei der zweiten Gleichung denken wir uns bei a 1a. Die Gleichheitszeichen lassen wir weg und machen dafür einen Strich.
Die Determinante von a ist die Determinante von A1 durch die Determinante A. Die Determinante von A ist die Matrix. Die Determinante A1 bedeutet jetzt, dass wir diese Zahlen, die wir noch nicht in der Hauptdeterminante benutzt habe, in die erste Spalte einsetzen. Das ist es im Prinzip schon. Und jetzt können wir das hier ausrechnen. Dafür benötigt man aber eine Nebenrechnung, die man sich bei der Regel von Sarrus angucken kann. Aber wir können es auch ohne eine Nebenrechnung machen. Wir gehen von oben links diagonal runter und multiplizieren all diese Werte jeweils miteinander in dieser Ordnung. Bei den bereits verwendeten Punkten wird für eine bessere Übersicht ein Punkt daruntergesetzt, damit wir wissen, welche Zahl wie oft benutzt wurde. Die erhaltenen Ergebnisse addieren bzw. subtrahieren wir. Bei diesem Schritt ist ein Taschenrechner eine gute Hilfe. Das gleiche ist auch mit b und c zu machen. Bei b wird die zweite Spalte, bei c die dritte Spalte durch die Matrix ersetzt.

Die Hauptdeterminante muss nur einmal ausgerechnet werden.
Deshalb bleibt sie bestehen.

Um zum Schluss die Richtigkeit der erhaltenen Ergebnisse zu überprüfen, braucht man lediglich die erhaltenen Zahlen in die Gleichung einsetzen.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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