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Die erste Serie zu Differentialgleichungen, bestimmt auch mal als Differenzialgleichungen geschrieben, beschäftigt sich mit dem ersten Typ dieser Gleichungen, nämlich die, bei der die Variablen getrennt werden: Ich will gleich vorne weg schreiben, dass Differenzialgleichungen zweiter Ordnung generell erst in der Uni dran kommen. Differentialgleichungen erster Ordnung (also so wie unten in den Videos) kommen teilweise auch schon in der 13. Jahrgangsstufe dran. Ich möchte dieses Thema auch gern vollständig in der Videosammlung haben; Videos zu diesem Thema dauern aber immer ein wenig länger als Aufgaben zur Schulmathematik...

Aus dem ersten Video:

Differentialgleichungen Typ 1 – eine Einführung

Die Differentialgleichung des Typs 1 sieht mathematisch immer so aus: y' = f(x) • g(y). Das heißt, es gibt immer eine Termgruppe, die etwas mit x Variablen und eine Termgruppe, die etwas mit y Variablen zu tun hat. Und damit man weiß, wonach man die Formel auflösen soll, wird sie oft auch so geschrieben: y'(x) = .

Ich gehe nun auf ein paar grundsätzliche Sachen ein, welche die Differentialgleichung betreffen. Also, wir lösen Formeln. Diese können mathematisch verschiedentlich ausgedrückt werden. Die obige Formel y'(x) = könnte, zum Beispiel, auch so geschrieben werden: y'(x) • y = x.

In einem ersten Schritt wird die Differentialgleichung immer nach y' aufgelöst. Wenn die Gleichung nach y' aufgelöst wurde, wie in diesem Fall: y'(x) = , so wird sie in einem zweiten Schritt so geschrieben: y'(x) = . Daraus ergibt sich, in einem dritten Schritt diese Formel: = . Jetzt wird die Formel mit dx und y multipliziert. Daraus ergibt sich folgende Formel: y • dy = x • dx. (Wichtig: zwischen y und dy und x und dx steht immer ein Multiplikationszeichen).

Die Formel wird nun mit den Integrationszeichen versehen: y • dy = x • dx, denn jetzt wird die Formel integriert und die Integrationskonstante c eingeführt: y2 = x2+c´ (das c wird dabei mit einem „Strich“ geschrieben, denn es ist noch nicht das original c). Diese Gleichung wird jetzt nach y aufgelöst (das c gibt es erst ganz am Schluss zu verteilen). Dabei wird erst mal mit 2 multipliziert: y2 = x2 + 2c´ (2c´ kann auch so geschrieben werden: c´´). Dann sieht die Formel so aus: y2 = x2 + c´´. Im nächsten Schritt wird die Wurzel ( ) gezogen, das ergibt folgendes Ergebnis: y = . Für c kann man nun eine beliebige Zahl wählen, zum Beispiel eine 3. Dann sieht die Formel so aus (das wird in diesem Beispiel weggelassen):

y = . Lösen wir nun die Formel rückwärts auf und quadrieren sie: y2 = x2+3. Die Zahl 3 entspricht nun dem c´´. Um das c´ zu ermitteln wird die Gleichung durch 2 geteilt: y2 = x2+ .

Mit der Differentialgleichung geht es im nächsten Video weiter.

Ergänzung: pdf zur Differentialgleichung: (1+e^x)y'+e^xy=0  


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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