Hier gehts zu den besten Videos zu dem Thema Einsetzungsverfahren


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Mit dem Einsetzungsverfahren lassen sich lineare Gleichungssysteme lösen. Geh einfach Schritt für Schritt das Schema aus den Videos durch. Das Verfahren funktioniert immer und lässt sich leicht auswendig lernen.

Einsetzungsverfahren Schema

  • Als erstes schreibt man sich sein Gleichungssystem auf.
  • Dann löst man die erste Zeile nach der ersten Variablen auf.
  • Das, was für die erste Variable rausgekommen ist, setzt man dann für die Variable in der zweiten Gleichung ein.
  • Die zweite Zeile löst man dann nach der zweiten Variablen auf.
  • Dieses Ergebnis setzt man jetzt als erstes in die aufgelöste erste Gleichung ein.
  • Jetzt hat man zwei Ausdrücke, die man in die dritte Gleichung einsetzt.
  • Und diese dritte Gleichung kann man jetzt so auflösen, dass man einen Wert für die dritte Variable bekommt.
  • Den Wert der dritten Variablen kann man jetzt einsetzen in die zwei Gleichungen, die man vorher in die dritte Gleichung eingesetzt hat.

Das Einsetzungsverfahren im Vergleich

Vergleicht man das Verfahren mit den anderen Möglichkeiten Systeme von Gleichungen zu lösen, stellt man fest, dass es einfach anzuwenden ist.
Man muss nicht schauen, wie man am elegantesten rechnet. Man kann direkt anfangen zu rechnen. Das spart einiges an Zeit und an Verwirrung.
Das Verfahren funktioniert mit allen linearen Gleichungssystemen, die in der Schule berechnet werden sollen. Ob zwei Gleichungen mit zwei Variablen oder drei Gleichungen mit drei Variablen. Der Lösungsweg ist immer gleich.
Das ist zum Beispiel ganz anders beim Gleichsetzungsverfahren. Das funktioniert nur bei zwei Gleichungen mit zwei Variablen.
Das Gleichsetzungsverfahren ist im Prinzip auch nur ein Spezialfall. Denn hat man erst beide Gleichungen nach einer der beiden Variablen aufgelöst, so setzt man doch auch den Ausdruck in die andere Gleichung ein und löst dann auf.

Lineare Gleichungssysteme mit Einsetzungsverfahren Beispiele

Lineare Gleichungssysteme auflösen das beste Verfahren Schritt 1


Im ersten Schritt lösen wir jetzt also die erste Gleichung nach X auf. Dazu brauchen wir zwei Umformungen. Einmal minus 3Y und dann durch zwei. Jetzt können wir das, was in I.II. steht an der Stelle in der zweiten Gleichung einsetzen, an der das X steht. Dabei ist es wichtig, dass du beim Einsetzen darauf achtest, dass sich die Rechenzeichen, die sich vorher auf das X in der zweiten Gleichung bezogen haben auch wirklich auf den gesamten Ausdruck, den du einsetzt, beziehen.

Lineare Gleichungssysteme auflösen einsetzen der ersten Gleichung


In diesem Beispiel wird X mit drei mal genommen und also muss auch der Ausdruck 2 - 1,5 Y insgesamt mit drei mal genommen werden. Jetzt lösen wir die zweite Gleichung nach Y auf. Also als erstes die Klammer ausmultiplizieren. Im nächsten Rechenschritt rechnen wir die Terme mit Y auf der linken Seite zusammen und holen die sechs auf die andere Seite der Gleichung Nummer zwei. Statt geteilt durch -0,5 kann man natürlich auch mal -2 rechnen.

Lineare Gleichungssysteme auflösen das Ergebnis des Beispiels mit dem einfachsten Verfahren


Jetzt haben wir ein Ergebnis für Y. Und das Einsetzungsverfahren hieße nicht so, wenn man nicht auch das Ergebnis wieder einsetzen müsste. Also setzen wir -2 an der Stelle ein, an der in der Gleichung I.II. das Y steht. Und achten wieder darauf dass die Rechenverknüpfungen beibehalten werden. Jetzt müssen wir den Ausdruck für X noch ausrechnen. In vielen Fällen will dein Lehrer deine Lehrerin jetzt von dir noch die Lösungsmenge des Gleichungssystems aufgeschrieben bekommen. Das solltest du ernst nehmen, wenn du in deiner Klassenarbeit oder deiner Klausur die volle Punktzahl bekommen willst.
Hier lautet die Lösungsmenge: |L={5;2}

Nicht jedes Mal, wenn man lineare Gleichungssysteme lösen soll, kommt man auf eine solche Lösungsmenge. Es gibt noch zwei weitere Möglichkeiten für Ergebnisse, wie stelle ich weiter unten vor.

Einsetzungsverfahren Probe

Wie immer, wenn wir in der Mathematik etwas berechnen, können wir auch hier die Probe machen. Dazu setzen wir in das Gleichungssystem vom Anfang die Lösungen ein. Wenn jetzt jeweils in den Gleichungen links und rechts vom Gleichheitszeichen dasselbe steht, hat man richtig gerechnet.

I. 2*5+3*(-2)=4
II. 3*5+4*(-2)=7
I. 4=4
II. 7=7

Weitere Möglichkeiten für Ergebnisse

keine Lösung

2x+3y=4
4x+6y=12

Wenn du dieses Gleichungssystem löst, kommst du am Ende auf die Zeile:
8=12
Du hast also das Schema nach allen Regeln der Kunst angewendet und kommst auf eine Zeile, die nicht stimmt. Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat.

Unendlich viele Lösungen

2x+3y=4
4x+6y=8

Jetzt habe ich das Gleichungssystem wieder ein bisschen verändert und wenn die Lösung berechnest, kommst du am Ende auf die Zeile

8=8

Du hast also das wieder komplett richtig gerechnet und kommst auf eine Gleichung, die eine wahre Aussage ist.
Herzlichen Glückwunsch! Jetzt musst du nur noch das Ergebnis interpretieren. Und die Interpretation dieses Ergebnisses ist: das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Beispiel: Lösung eines Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen

Einsetzungsverfahren Mathematik 3x3


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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