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Extrema berechnen - was sind noch mal Extrema?

Erst Mal ist das Wort Extrema die Mehrzahl von Extremum. Und das wiederum heißt nichts anderes als Extrempunkt. Diese heißen oft auch Hochpunkt und Tiefpunkt oder Minimum oder Maximum.

Es gibt relative Extrema und absolute Extrema. Wenn Du Dir den Scheitelpunkt einer Parabel vorstellen kannst, dann hast Du ein Bild von einem absoluten Maximum oder Minimum.

Bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades gibt es höchstens lokale Extrema, weil die Funktion an den Rändern vom Definitionsbereich, also gegen unendlich, ins Unendliche strebt.

Du wirst feststellen, dass Du beim Ableiten fit sein solltest. Wenn Du merkst, dass Du da besser durch sehen solltest, dann schau Dir mal die Hauptseite zum Thema Ableitung an.

Extrema haben diese Eigenschaften:

  • sie haben eine waagerechte Tangente
  • in der näheren Umgebung keine höheren oder tieferen Punkte des Grafen liegen

Extrema: Hochpunkt - Tiefpunkt

Hochpunkt und Tiefpunkt, also die Extrema oder die Punkte mit waagerechten Tangente rechnerisch zu unterscheiden - darum gehts in diesem Mathe-Video.

Folgende Aufgabe (die auch Teil einer Kurvendiskussion sein könnte, aber auch einzeln gestellt werden kann) ist zu lösen:

Für die Funktion f(x)=2x³+7x²-14x-3 sollen die Extrema bestimmt werden.

Dazu sind die drei folgenden Schritte nötig:

  1. Die erste Ableitung (f‘(x)) und die zweite Ableitung (f‘‘(x)) bestimmen
  2. Die erste Ableitung gleich 0 setzen und dann mittels der pq-Formel die x-Werte bestimmen
  3. Die x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen für die Qualität und in die erste Ableitung für die Quantität

Regeln beim Bilden der Ableitungen

  • den Exponenten mit dem Koeffizienten multiplizieren und „oben einen abziehen“
  • bei x fällt das x weg
  • ganze Zahlen fallen komplett weg

Also f‘(x)=6x+14x-14

f‘‘(x) =12x+14

2: 0=6x²+14x-14

Um die x-Werte mit der pq-Formel zu berechnen muss man zuerst durch „6“ teilen, da zu Beginn eine „1“ stehen muss.

Daraus folgt: 0=x²+7/3 x-7/3 (Brüche sind übersichtlicher als gemischte Zahlen mit zahlreichen Stellen nach dem Kommata)

x1,2=-7/6 ± 1,922

x1=0,755

x2=-3,089 (Achtung: Beide x-Werte sind gerundet)

3: Im dritten und letzten Schritt müssen nun die x-Werte in die erste beziehungsweise die zweite Ableitung eingesetzt werden.

Da sich für x1 in der zweiten Ableitung (f‘(x)) ein positiver Wert ergibt, ist der in der ersten Ableitung (f‘(x)) mit x1 errechnete Wert (-8,72) ein Tiefpunkt. Dementsprechend ist der mit x2 errechnete Wert (48,09) ein Hochpunkt, da sich beim Einsetzen in die zweite Ableitung ein negativer Wert ergibt. Es ergeben sich also folgende Hoch- und Tiefpunkte (beziehungsweise Extrema):

TP: (0,755|-8,72)

HP: (-3,089|48.09)
Wenn die Funktion ein anderes Muster aufweist als das im Beispiel, dann kann es gut sein, dass Du eine andere Ableitungsregel benötigst. Zum Beispiel die Kettenregel.

Aufgaben, die ohne Kenntnisse der Vokabeln zum Thema Extrema schwierig werden


Da sind zunächst mal die Extremwertaufgaben, die, wie der Name schon sagt, Extrema suchen. In Sachzusammenhängen. Hat man hier das grundlegende Wissen aus den Videos oben nicht parat, dann kann man die Lösung solcher Aufgaben abhaken.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



Die besten Videos in Extrema:


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