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Flächenberechnung

Was ist das bestimmte Integral?

Unter dem Begriff bestimmtes integral versteht man ein Integral mit Grenzen. Die Aufgabenstellung ist, den Flächeninhalt unter einer Kurve bzw. unter dem Graphen einer Funktion zu berechnen.

Weitere Themen im Bereich bestimmtes Integral sind:

  • Hauptsatz der Integralrechnung
  • Mittelwertsatz der Integralrechnung
  • Flächenberechnung



  • Flächeninhaltsfunktion
  • Interpretation Flächeninhalte Integralrechnung
  • Flächenbilanz
  • Fläche zwischen Funktionen
  • Eingeschlossener Flächeninhalt
  • Betragsstriche

Flächenberechnung ist ein Schwerpunkt im Bereich der Analysis/Integralrechnung und läuft nach einem festgelegten Schema ab, dass man auswendig lernen sollte - dem Hauptsatz der Integralrechnung. Hier berechnet man zunächst die Stammfunktion nach der Integrationsvariable und setzte dann die Grenzen ein, die gegeben sein können, oder die man aus der Aufgabenstellung vorher herauslesen oder berechnen soll.

Wenn man die Grundlagen der Integralrechnung drauf hat, dann ist die häufigste Variante wohl die Berechnung einer Fläche unter der Kurve einer Funktion, also Aufgaben wie diesen beiden Kandidaten:

  • Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse
  • Integralrechnung Fläche berechnen Grenzen gegeben

Die Berechnung der Flächen funktioniert mit Parametern genauso wie ohne. Wichtig ist, dass keine berechnete Fläche jemals negativ sein darf, weshalb man bei diesen Berechnungen auf die richtige Setzung von Betragsstrichen angewiesen ist.

Dabei kommt auch immer wieder die Frage auf, was denn nun eigentlich dieses dx heißt und was passiert, wenn da plötzlich mal dp oder etwas ähnliches steht - das findest Du im zweiten Video.

Ist wie im Beispiel x die Integrationsvariable - nach dem d steht ein x, ist jeder andere Buchstabe so zu behandeln, als ob er eine Zahl ist.

Aufgabe

Das Video behandelt folgende Inhalte / hat folgendes zum Inhalt:

- Parameter - Flächenberechnung - Integralrechnung - Wie muss p gewählt werden, damit die Gleichung stimmt? - Parameter

Parameteraufgaben sind entweder Aufgaben, bei denen wir ein Ergebnis vorgegeben bekommen und dann berechnen müssen, welche Funktion denn das gewünschte Ergebnis liefert oder es sind Aufgaben, bei denen wir erst eine allgemeine Berechnung durchführen und dann für verschiedene Werte ganz schnell die Veränderung der Ergebnisse berechnen können.


Liste Flächenberechnung

Das Schema zur Flächenberechnung einer zwischen zwei Funktionen eingeschlossenen Fläche findest Du im Beitrag:

  • Eingeschlossener Flächeninhalt

Wenn die Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen und einer Achse vorgenommen werden soll, dann schau in diese beiden Videos:

  • Flächeninhalt zwischen f und g und und x-Achse
  • Flächeninhalt zwischen f und g und und y-Achse

Das ganze Spiel der Flächenberechnungen kann dann noch in großer Vielfalt gespielt werden, wie die weiteren folgenden Videos zur Flächenberechnung zeigen:

  • Flächeninhalt zwischen der Ableitung und der Abszisse
  • Eingeschlossener Flächeninhalt zwischen 3sin(x) und tan(x)
  • Flächeninhalt zwischen biquadratischer Funktion und Tangente im Hochpunkt
  • Flächeninhalt zwischen Parabel und ganzrationaler Funktion dritten Grades
  • Unbestimmtes und bestimmtes Integral ln-Funktion
  • Beispiel mit einer Exponentialfunktion

Die Flächeninhaltsfunktion zur Flächenberechnung

Wie lautet die Flächeninhaltsfunktion zur unteren Grenze Null - Beispiele zu einer linearen Funktion, einer absoluten Funktion, einer quadratischen Funktion. Es gilt bei ganzrationalen Funktionen: Erst im Exponenten "plus 1" dann den Koeffizienten (s.Video) durch den neuen Exponenten teilen:

Aus dem Video Flächeninhaltsfunktion

Die Flächeninhaltsfunktion A0(x) bestimmt den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Man spricht auch von der Flächeninhaltsfunktion zur Grenze 0. Diese ist eine Form der Flächenberechnung und somit der Berechnung von unbestimmten Integralen.

Die Berechnungsregel der Flächeninhaltsfunktion für ganzrationale Funktionen lautet:

1. Erhöhe den Exponenten um 1.

2. Teile den Koeffizienten durch den neuen Exponenten.

Wir betrachten nun einige Beispielrechnungen für lineare und quadratische Funktionen.

Beispiel 1

Berechne die Flächeninhaltsfunktion zur Grenze 0 für die lineare Funktion f(x)=12x!

Lösung:

Die ausführliche Schreibweise der Funktion lautet f(x)=12x¹, ist kein Exponent angegeben, so ist dieser Eins.

    Erhöhe den Exponenten um 1, dies ergibt 2.

    Teile den Koeffizienten durch den neuen Exponenten

    Der Koeffizient des Terms ist 12, diesen teilt man durch den neuen Koeffizienten 2 und erhält somit als Flächeninhaltsfunktion:

    A0(x)=12/2x²=6x².

Beispiel 2

Berechne die Flächeninhaltsfunktion für die quadratische Funktion f(x)=-?x²+2.

Lösung:

Die ausführliche Schreibweise der Funktion ist f(x)=-?x²+2x°.

Wir betrachten zunächst den ersten Term –?x².

1. Erhöhe den Exponenten um 1, dies ergibt 3.

2. Teile den Koeffizienten durch den neuen Exponenten

Der Koeffizient ist -1/3, dieser geteilt durch den neuen Exponenten 3 ergibt -1/9.

Nun betrachten wir den zweiten Term der Funktion +2x°.

1. Erhöhe den Exponenten um 1, dies ergibt 1.

    Teile den Koeffizienten durch den neuen Exponenten

    Der Koeffizient ist 2, dieser geteilt durch 1 ergibt 2.

Die Flächeninhaltsfunktion setzt sich zusammen aus diesen beiden Teilbetrachtungen:

A0(x)=- 1/9x³+2x¹ oder in vereinfachter Form A0(x)=-1/9x³+2x.

Beispiel 3 f(x) = -x-1 = -1x¹-1x° => A0(x) = -½x2-1x¹ =-½x²-x.

    Erhöhe den Exponenten um 1

    Teile den Koeffizienten durch den neuen Exponenten

Beispiel 4 f(x) = ¼ = ¼x° => A0(x)= ¼x¹= ¼x

    Erhöhe den Exponenten um 1

    Teile den Koeffizienten durch den neuen Exponenten

Flächenberechnung, Flächenbilanz und der Hauptsatz der Integralrechnung

In der Integralrechnung gibt es werden Hauptsatz der Integralrechnung. Der sagt im groben, dass man die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen einer Funktion berechnet, indem man erst einmal von der Funktion die Stammfunktion bildet und dann die Differenz aus dem Funktionswert der oberen Grenze des Intervalls und der unteren Grenze des Intervalls bildet. Denkt mancher.

In Wirklichkeit wird damit die Flächenbilanz berechnet.

Was ist die Flächenbilanz?

Das Wort Bilanz kennt man hauptsächlich von Firmen oder Banken, von Einnahmen und Ausgaben und genauso kann man sich das auch mit Flächen vorstellen. Flächen oberhalb der x-Achse zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse liegen, führen zu einem positiven Wertes Integrals. Wenn jetzt aber der Graph einer Funktion unterhalb der x-Achse verläuft, dann führt das zu einem negativen Wert des Integrals.

Rechnet man jetzt die positiven und die negativen Werte des integral einfach so zusammen, dann berechnet man damit die Flächenbilanz.

Ich will aber die Fläche und nicht die Flächenbilanz

Ich will aber gar nicht die Flächenbilanz berechnen, sondern den eingeschlossenen Flächeninhalt einer Fläche, die durch eine Nullstelle unterbrochen wird.

Dann musst du die beiden Flächen einzelnen berechnen. Dabei wirst du Betragsstriche brauchen, denn immer wenn ein Flächeninhalt der in der Integralrechnung berechnet wird unterhalb der x-Achse liegt, brauchen wir die Betragsstriche rund um das integral um einen positiven Wert herzustellen. Denn Flächen können nicht negativ sein.

Was kann man denn mit der Flächenbilanz sinnvoll berechnen?

Nehmen wir mal ein konkretes Beispiel. Eine Funktion beschreibt eine Änderungsrate, zum Beispiel geht es um die Zufluss oder Abflussgeschwindigkeit von Wasser in ein Becken. Zuerst wird Wasser in das Becken reingelassen (der Graph verläuft oberhalb der x-Achse), dann wird der Hahn irgendwann geschlossen. Und im selben Moment wird dann das Wasser irgendwo wieder abgelassen und danach der Abfluss wieder geschlossen. Berechnen wir jetzt das integral vom Anfang dieses Prozesses bis zum Ende, erhalten wir als Ergebnis die Menge Wasser, die jetzt mehr oder weniger als am Anfang in dem Becken ist.

Fläche zwischen Funktionsgraphen

Bei der Flächenberechnung von Flächen, die zwischen Funktionsgraphen eingeschlossen sind, gibt es ein Standardverfahren.

Um die eingeschlossene Fläche zwischen f(x) und g(x) zu berechnen können wir also immer den gleichen Weg gehen - den man auch auswendig lernen kann - das spart Zeit in der Klausur... 

  • Als erstes berechen wir eine Differenzfunktion, also f minus g.
  • Die Nullstellen von h(x) haben den gleichen x-Wert wie die Schnittstellen von f und g. Und noch was ist gleich: Und zwar ist der Flächeninhalt zwischen f und g genauso groß wie der Inhalt der Fläche zwischen h(x), der Differenzfunktion und der x-Achse.
  • Als nächstes müssen wir nur noch eine "normale" Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse berechnen - und dafür gibt’s hier auch Videos.

Wie berechne ich die eingeschlossene Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen?

Standardlösungsvariante

  • Berechnung einer Differenzfunktion
  • Flächenberechnung mit dem Hauptsatz und zwar mit h(x)

Flächen sind immer positiv (Betragsstriche)

Fläche zwischen Funktionen


Eingeschlossener Flächeninhalt

Der eingeschlossene Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen wird in diesem Video berechnet. In diesem Fall wird besonders berücksichtigt, wie man vorgeht, um Betragsstriche beim Integrieren zu vermeiden...

    Zur Videosammlung Flächenberechnung

Aus dem Video:

Eingeschlossener Flächeninhalt

Der Flächeninhalt der von zwei Funktionen eingeschlossenen Fläche soll bestimmt werden.

Gegeben sind die Funktionen f(x)= (x-4)² + 1 und g(x)= -x + 7. Also eine Parabel und eine Gerade.

Zunächst sind die Schnittstellen zu berechnen. Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass die beiden Funktionen Schnittstellen besitzen. Errechnen lassen sich die Schnittstellen entweder durch direktes Gleichsetzen der Funktionen f(x) = g(x), oder wie im Video durch die Nullstellenberechnung der Differenzfunktion h(x)= f(x) - g(x) = 0.

(x-4)² +1 - (-x+7) = 0 <=> x² -8x +16 +1 +x -7 = 0 <=> x² -7x +12,25 = 2,25 <=> (x-3,5)² = 2,25 <=> x -3,5 = 1,5 v x -3,5 = -1,5 <=> x = 5 v x = 2

Die Schnittstellen sind also bei 2 und 5. Nun wird die Differenzfunktion h(x)= x² -7x +10 über das Intervall [2;5] integriert. Dazu wird zunächst die Stammfunktion H(x)= x³/3 -7x²/2 +10x bestimmt. Das Integral berechnet sich dann wie folgt.

H(5) - H(2) = 4 +1/6 -(8 +2/3) = -4,5

Der Wert des Integrals ist -4,5.

Eine Fläche kann natürlich nicht negativ sein. Daraus folgt: Die Fläche beträgt 4,5 Flächeneinheiten = 4,5 FE.

weitere Videos, in denen etwas eingeschlossen, ist:

    Der Beitrag mit der eingeschlossenen Fläche ist schon ein kleiner Sammelbeitrag, der zu diesem hier sehr gut passt.

    Das eingeschlossene Rotationsvolumen baut dann wiederum auf den Videos in diesen beiden Beiträgen auf, es geht noch ein Stückchen weiter.

Flächen können natürlich auch zwischen anderen Bereichen eingeschlossen sein - dazu hier eine erweiterte Liste:

  • Flächeninhalt zwischen f und g und und x-Achse
  •     Flächeninhalt zwischen f und g und und y-Achse
  •     Eingeschlossene Fläche zwischen x-Achse, Funktion und x=a
  •     Eingeschlossener Flächeninhalt zwischen 3sin(x) und tan(x)
  •     Eingeschlossene Fläche zwischen Funktion und Asymptote
  •     Eingeschlossener Flächeninhalt zwischen Normalparabel und Ursprungsgerade
  •     Teilungsverhältnis Ursprungsgerade und eingeschlossene Fläche
  •     Eingeschlossene Fläche durch Ursprungsgerade halbiert
  •     Rekonstruktion ganzrational mit eingeschlossener Fläche

Wo setze ich eigentlich nochmal die Betragsstriche, wenn ich in der Integralrechnung eine Fläche berechnen will?

Die Frage ist schnell beantwortet. Eine Fläche ist nie negativ. Der Wert eines Integrals ist aber negativ, wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall unterhalb der x-Achse verläuft. Das bedeutet immer, wenn sich ein Funktionsgraph im negativen Bereich der Y Werte befindet, muss man Betragstriche setzen.

Das eigentliche Problem mit den Betragsstrichen

Ein konkretes Beispiel. Gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und die Aufgabe lautet, den Flächeninhalt unter der Kurve zwischen dem Maximum und dem Minimum der Funktionswert zu berechnen. Mehr steht da nicht. Es steht nicht da, ob man auf Betragstriche achten soll oder nicht.

Deswegen es ist unglaublich wichtig, bevor man eifrig daran geht das integral zu berechnen sicher zu stellen, ob die Funktionswerte zwischen den Grenzen des Intervalls irgendwo das Vorzeichen wechseln.

Heißt das jetzt, dass du vor jeder Flächenberechnung zwischen Kurve und x-Achse untersuchen musst, in welchem Bereich sich die Funktionswerte bewegen?

Ja, ganz genau das heißt das. So leid es mir tut. Es gibt aber ein paar Fälle, bei denen man das nicht unbedingt tun muss.

Nehmen wir zum Beispiel die Funktionsgleichung f(x)=x²+2. wenn du hier an der Funktionsgleichung sofort erkennen kannst, dass die Funktion immer oberhalb der x-Achse verläuft, dann brauchst du natürlich nichts auszurechnen. Aber immer dann, wenn du dir in dieser Sache mit den Vorzeichen nicht hundertprozentig sicher bist, dann solltest du diese Überprüfung durchführen. Das kannst du tun:

  • Du kannst die Nullstellen berechnen, denn wenn eine Funktion Nullstellen hat, dann ist es wahrscheinlicher, dass sie ihr Vorzeichen wechselt, als wenn keine Nullstellen vorlägen.
  • Du kannst auch die Funktionswerte für obere und untere Grenze berechnen. Wenn hier der eine Wert negativ und der andere positiv ist, weißt du auch was Phase ist: Betragsstriche!

Betragsstriche bedeuten auch Intervallteilung

Nehmen wir zum Beispiel die Fläche unter der Kurve der Funktion f(x)=x²-4 im Intervall von 0 bis 3. Der Graph der Funktion ist eine um vier Einheiten nach unten verschobene und nach oben geöffnete Parabel. Wir berechnen für die Intervallgrenzen die Funktionswerte -4 und 1. Also brauchen die Betragsstriche. Aber wir können nicht einfach jetzt Betragsstriche um das Integral von Ziffern 0 bis 3 ziehen und alles ist gut. Wir brauchen ja die Betragsstriche nur, um den Teil der Fläche, die unterhalb der x-Achse liegt als eine positive Fläche zu bewerten. Wo endet jetzt der Bereich, in dem die Funktionswerte negativ sind?

Antwort: an der Nullstellen. Diese liegt in unserem Beispiel bei x=2

also teilen wir das Integral jetzt auf:

einmal von 0 bis 2 und um dieses Intervall ziehen wir die Betragsstriche und einmal von 2 bis 3 und in diesem Intervall werden keine Betragstriche gebraucht. Die beiden Teilintegrale müssen natürlich addiert werden, denn wir wollen ja die Gesamtfläche ausrechnen.

Hinweise zu den Videos zur Flächenberechnung mit dem bestimmten Integral:

Bei der Integralrechnung, Flächenberechnung das bestimmte Integral, Videos Flächenberechnung und da das zehnte von 43, 10.) Betragsstriche der Flächenberechnung. Hier ist bei dem Ergebnis der Flächeneinheiten ein kleiner Fehler unterlaufen. Es müssen 54,15 FE anstatt der berechneten 53,15 FE sein.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



Die besten Videos in Flächenberechnung das bestimmte Integral:


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