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Arithmetische und geometrische Folge

Arithmetische und geometrische Folgen und ihre Bildungsgesetze das sind die ersten zwei Basisvideos und am Schluss kommt noch ein Video mit einer ersten Basisanwendung.

Hinweis: In dem folgenden Video ist ein kleiner Schnitzer drin - bei der letzten Folge muss es in der expliziten Form heißen: 1/6*3^n (in Worten: ein sechstel mal drei hoch n) und nicht plus...

Weiterführende Links und Nachfragen.

Folgengrenzwert

Der Folgengrenzwert hat eine Definition, die manchem gar nicht so wirkt: Für jede beliebig klein wählbare Zahl, heißt es dort, muss es ein Folgenglied geben, ab dem alle weiteren Folgenglieder einen noch kleineren Abstand zum Grenzwert aufweisen - hier das Video

Und dann gibt's hintendran noch das Video zur konkreten Berechnung eines Grenzwertes mit der epsilon Formel:

VideoFolgengrenzwert

Eine Zahl kann als Folgengrenzwert definiert werden. In diesem Beispiel stellt der Buchstabe g den Grenzwert da, mit der Folge a(n), wobei n für das Element der natürlichen Zahlen steht, wenn gilt dass der Betrag von a(n) abzüglich des Grenzwertes (g) kleiner als Epsilon ist. Für Epsilon kann ein beliebiger, aber kleiner Wert gewählt werden.

An dem Beispiel a(n) ist Eins geteilt durch n, kann verdeutlicht werden wie der Folgengrenzwert berechnet wird. Für n kann jede natürliche Zahl eingesetzt werden, umso größer die gewählte Zahl, umso mehr wird der Wert a gegen Null streben. Wenn eine kleine Zahl unterschritten wird, durch die Differenz der Summe und dem Grenzwert, kann ein Folgenglied bestimmt werden. In diesem Beispiel wird für Epsilon der Wert von einem Viertel gewählt. So ergibt sich die Berechnung Eins geteilt durch n, minus den Grenzwert von Null. Dieser Betrag soll nun kleiner als Epsilon, also ein Viertel sein. Wird diese Gleichung für den Folgengrenzwert aufgelöst, kann im ersten Schritt die Subtraktion des Grenzwertes gestrichen werden. Anschließend wird die Formel umgestellt, mit dem Ergebnis n ist größer Vier. Das heißt ab dem vierten Folgenglied unterschreiten alle weiteren Funktionswerte den Grenzwert Epsilon.

Für Epsilon könnte beispielhaft auch der Wert 1/1000000 werden. Daraus ergibt nach Formelumstellung n > 1000000.

Wird jedoch 1000001 eingesetzt, ist der Folgengrenzwert, an der Stelle 1000001, niedriger als der Epsilon-Abstand der mit 1/1000000 festgelegt wurde.

Folgenbildungsgesetz geometrische Folge Spezial

Das Folgenbildungsgesetz für geometrische Folgen kann auch bestimmt werden, wenn das zweite und dritte Folgenglied und der Quotient aus dem ersten und vierten Folgenglied bekannt sind.

Geometrische Folge aus zwei nicht aufeinander folgenden Folgenglieder bestimmen

Das Folgenbildungsgesetz für eie geometrische Folge aufzustellen oder zu bestimmen, wenn man zwei nicht aufeinander folgende Folgenglieder (also nicht a2 und a3 z.B. sondern, wie in diesem Beispiel a3 und a6), läuft über ein Schema, lwie in diesen beiden Videos zu sehen ist:


Formeln geometrische Folge und Reihe

Von einer geometrischen Folge sind einige Parameter bekant und andere sollen berechnet werden.

Schranken von Folgen

Folgen haben Schranken, eine untere Schranke und eine obere Schranke. In diesem Video geht es um die Ermittlung dieser Schranken, des Grenzwertes und der Monotonie einer Folge.

Monotonie einer Folge

Eine Folge kann monoton steigend und fallend und streng monoton steigend oder fallend sein. In diesem Video wird eine Folge auf Monotonie untersucht: Hinweis: Ziemlich weit am Ende steht -5/(4n²-1) ist kleiner gleich Null, diese Zeile wird mit dem Nenner 4n²-1 multipliziert und in dem Video steht dann da auf der rechten Seite 4n²-1 - da muss natürlich Null stehen und dann steht da einfach die Zeile -5 kleiner gleich 0 und das stimmt - es stimmt sogar immer noch, wenn da -5 < 0 steht.

Folge von der rekursiven Form zur expliziten Form

Ein Medikament wird immer wieder gegeben und baut sich auch wieder ab. Erst wird geschaut, wie man sich das ganze als rekursive Folge anschauen kann und dann wird umgeformt in die explizite Form. Hinweis: Ganz zum Schluss muss natürlich m(n)=100*(0,75^n -1)/(0,75-1) stehen, denn s(n) ist ja in diesem Video als Teil von m(n) gebraucht worden.


Folge der Differenzen von benachbarten Quadratzahlen

oder die Frage: Warum ist die Differenz der Differenzen von zwei benachbarten Quadratzahlen immer gleich zwei? Dieser Frage geht dieses Video nach ;)

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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