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Das Gauß Verfahren

Das Gauß Verfahren hat viele Namen - mitunter Gaußscher Algorithmus genannt ist das Gauß Verfahren ein Weg, um die Lösung von einem linearen Gleichungssystem (LGS) zu berechnen.

Das Gleichungssystem, das in der Schule am häufigsten mit diesem Verfahren gelöst wird, ist das mit drei Gleichungen und drei Variablen.

Mit dem Gauß Verfahren kann man also ein Gleichungssystem lösen. Später wird man das auch Matrizen nennen. Das Gauß Verfahren hat zwei Grundlagen, die die meisten vermutlich im Unterricht schon kennen gelernt haben, bevor sie sich auf das Verfahren nach Gauß stürzen:

als erstes überführt man das Gleichungssystem in eine Koeffizientenmatrix. D.h. nichts anderes als dass man die Variablen weglässt.

Wichtig dabei ist noch festzustellen, dass wenn nur die Variable darstellt beispielsweise nur ein X dann ist der Koeffizient davon +1 wenn dort irgendetwas steht wie minus A, dann ist der Koeffizient -1.

Zumeist wird das Gauß Verfahren ab drei Zeilen und drei Variablen angewendet.

Du musst darauf achten, dass tatsächlich nur die Koeffizienten übereinander stehen, die dieselbe Variable haben. Alle Zahlen, die keine Variable haben, werden auf die rechte Seite der Gleichungen geschrieben und werden in der Gauß Matrix mit einem Strich abgetrennt.

Das Gauß Verfahren arbeitet man nach einem klaren Schema ab.

Das Ziel ist die Zeilenstufenform.

Bild Zeilenstufenform

dabei behält die erste der Gleichungen vier Zahlen, die zweite Zeile enthält dann nur noch drei Zahlen und die dritte Zeile enthält noch zwei Zahlen.

Drei Schritte im Gauß Verfahren zur Zeilenstufenform einer 3X3 Matrix

  • Im ersten Schritt arbeitet man mit den Zeilen I und II.
  • Im zweiten Schritt mit den Gleichungen I und II
  • Im dritten Schritt arbeitet man den Gleichungen II und III

Grundsätzlich kann man dabei immer zwei Techniken anwenden.

Am Beispiel zu Schritt eins:

In der ersten Variante multipliziert man die erste Zeile mit dem negativen Quotienten aus dem Koeffizienten von Zeile zwei geteilt durch Zeile eins und das ganze mit einem negativen Vorzeichen.

Beispiel Bild Gleichungssystem

oder aber man multipliziert die erste Gleichung mit dem Koeffizienten der zweiten Zeile und umgekehrt. Wenn diese beiden Zahlen das gleiche Vorzeichen hatten, so subtrahiert man hinterher beide Zeilen (es wird immer die obere Zeile von der jeweils unteren Zeile abgezogen.

Ist die Zeilenstufenform mit dem Gauß Verfahren erreicht, so wird nach und nach (sukzessive) von unten nach oben aufgelöst und eingesetzt.

Dazu werden zunächst die Variablen wieder eingeführt und auch der senkrechte Strich der die Zahlen von den Variablen trennte wird zum Gleichheitszeichen.

Illustration dazu Gleichungssystem

als erstes wird also jetzt die dritte Gleichung aufgelöst. Die Lösung für diese Variable wird dann in die zweite Gleichung also die die darüber liegt eingesetzt. In dieser zweituntersten oder mittleren Zeile liest man dann nach der Variable, die dann noch dort drin ist, auf und hat schon mal die Lösung für die zweite Variable.

Ganz zum Schluss setzt man dann die beiden Variablen, deren Wert man schon kennt in die oberste Gleichung ein und erhält auch den Wert der letzten Variable.

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) kann auf verschiedene Art und Weise gelöst werden, hier mit dem Gauß Verfahren:

Und es kann auch langsamer dargestellt werden, wie in dieser längeren Version des Gaußschen Lösungsalgorithmus.

Longversion Gauß

Aus dem Video Lineares Gleichungssystem mit Gauß

Wenn man ein lineares Gleichungssystem mit dem gaußschen Eliminationsverfahren lösen möchte, dann sollte man darauf achten, dass alle Koeffizienten richtig gesetzt werden. Wo keine Koeffizienten stehen, setzt man eine 1 davor. Danach löscht man die Variablen, da diese immer untereinander stehen, sprich jedes X unter den andren X-en etc.

Als nächstes nimmt man die Beschriftung der Gleichungen und die Gleichheitszeichen weg. Stattdessen macht man um die Gleichungen eine Klammer herum und an der Stelle der Gleichheitszeichen zieht man einen Strich. Fertig ist die Matrix.

Das Ziel der Matrix ist es nun links unten ein Nullerdreieck herzustellen, sprich man möchte das Dreieck eliminieren. Dafür muss man wie in einem normalen Eliminationsverfahren erst die erste und die zweite Zeile, dann die erste und die dritte Zeile und zum Schluss die zweite und die dritte Zeile verwenden.

Mit der ersten Rechnung bekommt man die erste Zahl der zweiten Gleichung weg, mit der zweiten Rechnung die erste Zahl der dritten Gleichung und mit der dritten Rechnung die zweite Zahl der dritten Gleichung. Um dies Hinzubekommen können einzelne Gleichung mit einer Zahl multipliziert oder selten auch dividiert werden und danach kann man zwei Gleichungen miteinander addieren oder die eine Gleichung von der anderen subtrahieren. Dabei sollte man stets darauf achten, dass alle Koeffizienten neu berechnet werden müssen. Sobald alle Schritte erfolgreich durchgeführt wurden, kann man die Matrix wieder auflösen und die Gleichungen wieder wie zu Beginn mit Variablen und Gleichheitszeichen beschriften.

Da die untere Gleichung jetzt nur eine Variable hat, arbeitet man sich von unten nach oben vor. Zuerst wird die dritte Gleichung aufgelöst und dabei bekommt man das Ergebnis der ersten Variablen raus. Dieses Ergebnis kann man nun in der zweiten Gleichung für dieselbe Variable einsetzen und dort somit die zweite Variable ausrechnen und zum Schluss kann man die zwei bereits berechneten Variablen in die erste Gleichung einsetzen und dann die dritte und damit auch letzte Variable berechnen. 


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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