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Beim grafischen Aufleiten sollen man aus dem Graphen einer Funktion den Graphen der Flächeninhaltsfunktion oder einer Stammfunktion entwickeln. Dabei rate ich dazu, zuerst die grafischen Ableitungen zu ermitteln um dann hinterher die Stammfunktion zu skizzieren.

Grafisches Aufleiten wird häufig auch grafisches Integrieren genannt und ist häufig Teil der Einführung in die Integralrechnung. Auch deshalb, weil man vorher schon mal grafisches Ableiten gemacht hat.

Worum geht es beim grafischen Integrieren?

Grundsätzlich geht es darum aus dem Graphen einer gegebenen Funktion den Graphen einer Stammfunktion zu ermitteln. Dabei ist es unbedingt notwendig, dass man sich klarmacht, dass die Y-Werte des Grafen, den man zeichnen soll, jeweils den Flächeninhalt unter der gegebenen Funktion beschreiben.

Vorbereitungen für das grafische Aufleiten (integrieren)

Nehmen wir an wir haben den Graphen einer ganz Funktion (f(x)) gegeben. Zeichne die als erstes Koordinatensysteme direkt unterhalb und oberhalb des gegebenen Koordinatensystems. Jetzt ist es ratsam die Y Achsen der einzelnen Koordinatensysteme von oben nach unten so zu benennen.

  • F(x)
  • f(x)
  • f'(x)
  • f''(x)

Bei f(x) sollte man sich klarmachen, dass dies die Ableitung der Stammfunktion darstellt, also geben die Funktionswerte jeweils die Steigung der Funktion an, die wir skizzieren wollen. Genauso ist die erste Ableitung des gegebenen Graphen auch die zweite Ableitung dieser gesuchten Funktion. Erste und zweite Ableitung des gegebenen Graphen empfehle ich als Hilfsmittel für diese Aufgabenstellung. Ebenso empfehle ich beim grafischen ableiten sehr sicher zu sein um diese Hilfsmittel zügig herstellen zu können.

Schema für das qualitative grafische Aufleiten (integrieren)

1. Nullstellen in f(x)

Nullstellen im gegebenen Graphen, der ja die Ableitung der Aufleitung ist, sind in der Stammfunktion, die wir skizzieren sollen Extremstellen, also X Werte, an denen der Graph der Stammfunktion zumindest lokal besonders hoch oder besonders tief ist, also dort ist die Steigung null. Markiere dir diese Stellen leicht auf der x-Achse.
Wie entscheidet man jetzt, ob eine dieser Nullstellen in der ersten Ableitung der gesuchten Funktion ein Tiefpunkt oder Hochpunkt (Extrema) ist?
Man schaut sich in der zweiten Ableitung um. Denn die Bedingungen für ein Maximum waren ja, wenn du mal in seiner Vokabelkiste wühlst:

f'(x)=0 und f''(x)<0

und dann auch gleich noch für das Minimum:

f'(x)=0 und f''(x)>0

jetzt können wir also alle Nullstellen, die der in der Aufgabenstellung gegebene Graph aufweist, mit unseren Hilfsmitteln dazu nutzen, um Maxima und Minima in unsere Skizze der Integralfunktion ein zu zeichnen. Wichtig ist an dieser Stelle, sich klarzumachen, dass wir bei der qualitativen Methode nicht darauf achten müssen, wie groß exakt die Y-Werte dieser Extrempunkte sein müssen. Soll man diese Skizze auch quantitativ machen, dann muss man tatsächlich den Flächeninhalt, den die gegebene Funktion und die x-Achse einschließen abschätzen.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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