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Was sind Grundintegrale?

Grundintegrale sind Integrale, auf die man bestimmte Funktionen zurückführen kann.

Lass mich das nochmal anders ausdrücken: es gibt gewisse Strukturen von Funktionsgleichung, die alle eine bestimmte Grundfunktion als Stammfunktion haben. Die Muster in diesem Funktionen muss man erkennen können, damit man weiß, welche Substitution oder welche Umformungsschritte man an der Randfunktion vornehmen muss, damit dann die Formel für das jeweilige Grundintegral anwendbar ist.

Erste Beispielfunktion Grundintegral arctan(x)

Gegeben ist die Randfunktion f(x)=8/(8x²-8x+10) und wir sollen die Stammfunktion bestimmen.

Wenn man eine solche Funktion integrieren soll, dann muss man schon vorher wissen, dass man diese Funktion so umformen kann, dass sie so aussieht:

1/(z²+1), denn von dieser Grundfunktion ist die Stammfunktion arctan(z)+C.

Und wenn dir aufgefallen ist, dass in der Randfunktion ein X und der Erklärung ein z vorkommt und daraus schließt, dass man bei so einer Aufgabe substituieren muss, dann gratuliere ich dir herzlich. Du bist schon ziemlich weit in der Mathematik.

Jetzt aber zurück zu dem konkreten Beispiel:

als erstes Klammern wir im Nenner die acht aus denn dann steht im Zähler schon mal eine 1. Im Nenner steht jetzt eine quadratische Funktion. Die können wir mithilfe der quadratischen Ergänzung umformen, so dass der steht:

1/((x-1/2)²+1). Jetzt substituieren wir x-1/2=z und haben die Form, in der wir unser Grundintegral anwenden können.

Wie kommt man auf Grundintegrale, also solche Zusammenhänge?

Da ja die Ableitung der Stammfunktion wieder f(x) ist, hat man einfach umgekehrt gedacht. Wenn man also f(x)=arctan(x) ableitet, erhält man die Funktion 1/(1+x²). Also muss auch die Stammfunktion von 1/(1+x²) wieder arctan(x) sein.

Sei dir gewiss, die Herleitung einer Formel für Bestimmung einer Stammfunktion von Funktionen der Art 1/(ax²+bx+c) ist schon eine ziemlich fortgeschrittene Sache der Schulmathematik und kommt nicht im Grundkurs, kann aber im Leistungskurs in der Oberstufe in Mathematik vorkommen. Kannst dir trotzdem das Video angucken.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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