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Die Hessesche Normalenform

Die Hessesche Normalenform ist eine Sonderform der vektoriellen Ebene in Normalenform. Das Besondere an ihr ist, dass ihr Normalenvektor genau eine Einheit lang ist und senkrecht auf der Ebene steht, so dass man mit der Hesseschen Normalenform wunderbar Abstände mit den Mitteln der Vektorrechnung berechnen kann:

Hinweis: Bei 4:23 min schreibe ich eine Koordinatenform hin, die für die Ebene, die ganz zu Anfang da steht auch stimmt - dann wische ich das Minuszeichnen vor der -4 der z-Koordinate in der Ausgangsgleichung weg und ändere das aber nicht in der Koordinatenform ;) Danach ist alles wieder ok ;) Bei 7:05 ist der ganz genaue Wertvon 8/Wurzel 20= 1,788854382

Übersichten mit Bezug zur Hesseschen Normalenform

Vektorrechnung analytische Geometrie Abstände Geraden und Ebenen Ebenen umwandeln. Im nächsten Video wird der Abstand mit der Hesseschen Normalenfom berechnet: Hinweis von Chris: Ganz am Ende wird der Abstand angegeben als -1,46. Abstände sind immer in Betragsstriche zu setzen, das heißt, das Ergebnis ist immer positiv. Mehr dazu in einem Kommentar.

Warum kann man mit der Hesseschen Normalenform den Abstand berechnen?

Aus dem ersten Video:

In diesem Video erkläre ich auf Anfrage von Handan die Hessesche Normalenform. Ich weise darauf hin, dass es weitere Videos gibt, die den Aufbau der Normalform aus drei Schritten erklären (den Link findest Du unter dem ersten Video). Die Normalform ist der Ausgangspunkt, aus der die Hessesche Normalenform entwickelt wird. Der Unterschied der Hesseschen Normalform zu der Normalform ist die Normierung des Normalenvektors auf eine Einheit.

Da der Betrag des Normalenvektors dessen Länge beschreibt, wird dieser zunächst ausgerechnet. Dann wird der ausgerechnete Betrag auf die Länge des Wertes 1 normiert. Hierfür zeige ich zwei verschiedene Schreibweisen und nun ist das Geheimnis der Hesseschen Normalform schon umgesetzt. Nun kann die Gleichung auch in die Koordinatenform umgewandelt werden.

Mit der Hesseschen Normalform und ihrer Koordinatenform ist es möglich, den Abstand eines Punktes zu der Ebene zu berechnen. Hierfür werden die Werte x, y und z des Punktes in die Gleichung (Normalform oder Koordinatenform) eingesetzt und die Gleichung zu der gesuchten Variablen hin ausgerechnet.

Danach komme ich zu der speziellen Aufgabe, wegen der Handan um Hilfe gebeten hatte: Es soll ein Punkt A ermittelt werden, der im Abstand 5 zu einer genannten Ebene liegt. Man setzt die Werte des Punktes A in den x-Vektor der Hesseschen Normalform, den Wert 5 auf der Ergebnisseite der Gleichung und nimmt dafür die Null weg, nun multipliziert man die Gleichung aus.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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