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Einführung in die Integralrechnung mit Integralen von Änderungsraten

Früher hat man die Integralrechnung eingeleiteten Obersumme und Untersumme. Neuerdings wird das auch gerne veranschaulicht über die Integrale von Änderungsraten, also Meter pro Sekunde, Liter pro Stunde um dem ganzen Realität einzuhauchen.

Was ist eine Änderungsrate und was mache ich im Zusammenhang mit der Integralrechnung damit?

Machen wir das zunächst erst einmal ganz konkret:

Ein Läufer läuft mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s, die er konstant hält. Die Geschwindigkeit ist jetzt die Änderungsrate der Strecke, die er läuft. Denn pro Sekunde kommen der immer 3 m dazu und diese 3 m sind die Änderung. Das Wort Rate hat etwas damit zu tun, dass diese 3 m in einer bestimmten Zeiteinheit jeweils dazu kommen.

Zum Thema mittlere Änderungsrate um momentane Änderungsrate empfehle ich dir andere Beiträge, die sich diesen Themen genau widmen.

Hier geht es um die Veranschaulichung von Integralen im Sachzusammenhang, also genau darum, was passiert, wenn man solch eine Geschwindigkeitsfunktion integriert und was das im Sachzusammenhang bedeutet.

Ganz allgemein gesprochen:

Der Graph einer Funktion, die eine Änderungsrate beschreibt zeigt uns zu jedem meist Zeitpunkt als Funktionswert die Änderung einer Grundgröße nach einer anderen Grundgröße an.

Was passiert wenn man eine Funktion, die eine Änderungsrate beschreibt, integriert?

Wenn man eine Funktion in der Integralrechnung integriert, bildet man dabei die Stammfunktion und diese Stammfunktion als auch Flächeninhalt Funktion. Und diese Flächeninhalts den können wir interpretieren, wenn wir einen Sachzusammenhang gegeben haben.

Wenn der Graph der Funktion die Geschwindigkeit zeigt, dann beschreibt die Fläche unter dieser Kurve bzw. die Fläche zwischen der x-Achse und der Kurve in einem bestimmten Intervall die Entfernung oder die Strecke, die jemand auf dessen Bewegung sich die Geschwindigkeit bezieht innerhalb des Intervalls zurücklegt.

Geschwindigkeit als Änderungsrate, deren Stammfunktion (Integral) Streckenlängen als Einheit haben.

Wenn ich mich mit konstant 3 m/s vorwärts bewege, dann ist der Graph der Funktion eine parallele zur x-Achse. Dieses Beispiel benutze ich in der Nachhilfe immer gerne, weil man intuitiv und ohne dass man sich der Mathematik wissentlich bedient den Zusammenhang greifen kann (und damit ist natürlich Begreifen gemeint). Läuft man also für zum Beispiel 10 Sekunden mit dieser konstanten Geschwindigkeit, dann berechnet sich die Strecke, die wir in der Zeit zurücklegen nach der Formel eines Rechteck nämlich Zeit mal Geschwindigkeit. Hier kann man sehen, dass die Fläche unter der Kurve eben gerade diese Aussagekraft hat. Und diese Interpretation ist von uns gefordert, wenn wir Aufgaben in der Integralrechnung zu Änderungsraten gestellt bekommen.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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