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Integration durch Substitution bei OberPrima

Integration durch Substitution wird bei verschiedenen Funktionstermen angewendet und ist eine Technik für Fortgeschrittene, weil man einige Schritte im Voraus bedenken muss. Das erste Video zur Integration durch Substitution ist für verkettete e-Funktionen gedacht (hier muss man übrigens noch nicht so ganz weit im Voraus denken, e-Funktion sei dank) und wird z.B. gebraucht in den Parameteraufgaben zur Integralrechnung von Herrn Brinkmann.

Aus dem Video Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine Methode zur Berechnung von Stammfunktionen und Integralen. Im Wesentlichen wird durch Einführung einer Integrationsvariablen der Integrand ersetzt, um die Aufgabe auf ein vorhandenes Integral zurückführen zu können.

Zur Erläuterung der Integration durch Substitution betrachten wir als Beispiel die Funktion e 2x dx . Dabei ist die e-Funktion mit der linearen Funktion f(x)=2x verkettet.

Wir betrachten nun zwei Möglichkeiten zur Ermittlung der Stammfunktion, d.h. der Funktion, deren Ableitung mit der Funktion übereinstimmt oder auch Aufleitung der Funktion.

Berechnung der Stammfunktion mit Hilfe der linearen Kettenregel

Wendet man die lineare Kettenregel der Integration (äußere Ableitung geteilt durch innere Ableitung) auf die Berechnung der Stammfunktion an, so ergibt sich als Stammfunktion [ 1 2 e 2x ] , wobei die eckigen Klammern als Platzhalter für die Konstante c stehen, da es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, die Stammfunktion lautet also 1 2 e 2x +C

e 2x dx= 1 2 e 2x +C

Berechnung der Stammfunktion mit Hilfe der Integration durch Substitution

Ziel ist zunächst die Vereinfachung des Integranden, dafür substituiert man die Funktion im Exponenten (innere Funktion) durch die Funktion

u=2x.

Die innere Funktion wird entsprechend abgeleitet

du = 2dx |:2 und Umstellung nach dx ergibt

dx = ½du.

Nun kann man in der gegebenen Funktion die bekannten Größen einsetzen (u=2x und dx=½du):

e 2x dx= e u 1 2 du= 1 2 e u du Ermittlung der Stammfunktion (bekannt für die e-Funktion) =½e^u+c | durch Re-Substituierung von u erhält man das Ergebnis 1 2 e 2x +C .

Somit liefert die Berechnung der Stammfunktion durch beide Methoden (lineare Kettenregel und Integration durch Substitution) das gleiche Ergebnis.

Ein wenig verspielter diese Funktion, die integriert werden soll - Hinweis dazu von Niklas in den Kommentaren: Der Definitionsbereich von f(x) und F(x) muss identisch sein, deshalb muss der Definitionsbereich der Stammfunktion eingeschränkt werden auf D={ ln3 } und die Argumente von ln (also dass, was in den Klammern von ln steht) müssen in Betragsstriche gefasst werden!

Das nächste Video in dieser Reihe ist ein Bruch, in dessen Nenner x*ln(x) steht: Hinweis von Chriz: Ganz zum Schluss bei der Resubstitution muss es natürlich ln(ln(x)) heißen und nicht ln(ln(z))+C Danke Chriz! Und hier noch ein Ergänzungspdf für eine besonders elegante Lösung dieser Aufgabe (angeregt von Salih in den Kommentaren) In der Aufgabenstellung war bereits der Definitionsbereich als x>0 gegeben, deshalb habe ich den Definitionsbereich der Stammfunktion nicht gesondert aufgeschrieben und in einem solchen Fall braucht es die Betragsstriche im ln nicht. 

Die lineare Kettenregel

Die lineare Kettenregel oder die Kettenregel allgemein setzt ja immer auf das erkennen einer Vekettung von mindestens zwei Funktionen, in diesem Video erst mal etwas spielerisch - oder konkretabstrakt ;) - aber dann geht's auch mit echten Beispielen, also mit Zahlen und x und so los und weiter:

Übungsaufgaben zur linearen Substitution

Drei Beispiele für die Frage - durch welchen Faktor müssen wir wann teilen in einer ersten Ergänzung

Und eine weitere Ergänzung bei einer konkreten Flächenberechnung im Intervall von 0 bis 2 pi der Funktion f(x)=sin(0,5x)

Aus dem ersten Video Lineare Kettenregel

Die lineare Kettenregel setzt die Verkettung von mindestens zwei Funktionen voraus. Dabei existiert die innere und die äußere Funktion.

Als Beispielsrechung wird

( 4 3 x+7 ) 7 dx

verwendet. Da es sich um eine Integralrechnung handelt, ist natürlich der Integralrahmen zu setzen und das ergänzende dx anzuhängen. Zum integrieren mit der linearen Kettenregel gibt es entsprechend den rein rationalen Funktionen einen Zusatz. Der lineare Teil, also die in Klammer gesetzten 4/3x + 7 bleiben unverändert. Der Exponent von 7 wird aber um eins auf 8 erhöht. Vor die Klammer wird der Kehrwert des neuen Exponenten gesetzt. Dabei handelt es sich um 1/8. Auch der Kehrwert des inneren Wertes wird vor die Klammer gesetzt. Die beiden Werte werden multipliziert, wodurch sich die Stammfunktion

[ 3 32 ( 4 3 x+7 ) 8 +C ]

ergibt. Nun folgt die erweiterte Version. Es liegt die lineare Kettenfunktion ( 3x+2 ) 5 dx vor. Mit Hilfe der Ableitungsregel (u (v) )’ = u’(v) * v’ kann das Ergebnis überprüft werden. Wobei u dem der Potenz ( )6 entspricht und es sich bei v um den Wert 3x + 2 handelt. Bei den Brüchen 1/6 und 1/3 handelt es lediglich um Faktoren, da sie kein x besitzen. Soll nun u’ berechnet werden ergibt sich die Formel 6 * (3x+2)5 * 3

Das ganze kann man sich auch als Vokabel einprägen. Immer wenn die Kettenfunktion (mx + n)a dx vorliegt, wird die Berechnung 1/a+1 * 1/m * (m/x + n)a+1 + C erstellt.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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