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Inverse Matrix mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus

Thema ist heute die Berechnung einer inversen Matrize. Und dazu benutzen wir den Gauß-Jordan Algorithmus. Hier geht es zunächst nur um das Technische.

Gegeben ist diese quadratische Matrix.


1

-1

2

3

2

1

2

-3

-2


1. Schritt Inverse Matrix


Aus dieser quadratischen Matrix erstellen wir als erstes eine Blockmatrix mit der Einheitsmatrix.


In der Einheitsmatrix befinden sich in der Diagonalen von oben links nach unten rechts jeweils Einsen und in allen anderen Feldern Nullen.


Die Blockmatrix sieht dann so aus:


1

-1

2

|

1

0

0

3

2

1

|

0

1

0

2

-3

-2

|

0

0

1


Jetzt formen wir diese Blockmatrix so um, dass der linke Bereich, also die Ausgangsmatrix, am Ende so aussieht wie die Einheitsmatrix.
Die Einheitsmatrix verändert sich dabei immer mit. Am Ende steht an ihrer Stelle die inverse Matrix.


Dies tun wir fürs Erste vollständig definitionslos. Uns ist aber wichtig, mögliche Tücken zu erkennen.


Unsere erstes Ziel ist es, die in der nächsten Matrix hervorgehobenen Zahlen zu eliminieren.


1

-1

2

|

1

0

0

3

2

1

|

0

1

0

2

-3

-2

|

0

0

1


Dabei richten wir uns nach einem speziellen Schema. Wir beginnen mit den Zahlen 2 und 3 in der ersten Spalte der Ausgangsmatrix.


1

-1

2

|

1

0

0

3

2

1

|

0

1

0

2

-3

-2

|

0

0

1


Wenn ich die Zahl 3 der ersten Spalte in eine Null umwandeln will,muss ich die erste Gleichung dreimal von der zweiten Geleichung abziehen. Analog muss ich die erste Gleichung zweimal von der letzten Gleichung abziehen, um die +2 in der letzen Gleichung in eine Null zu verwandeln.


1

-1

2

|

1

0

0

 

3

2

1

|

0

1

0

-3*I

2

-3

-2

|

0

0

1

-2*I


Es ist sinnvoll, beim Berechnen dieser Matrix den Taschenrechner zu verwenden. Natürlich sind die einzelnen Rechenschritte sehr einfach. Aufgrund der Vielzahl der kleinen Aufgaben hat sich aber sehr schnell ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen. Die nächste Stufe dieser Blockmatrix sieht dann wie folgt aus.


1

-1

2

|

1

0

0

0

5

-5

|

-3

1

0

0

-1

-6

|

-2

0

1


2. Schritt Inverse Matrix


Hier wird jetzt der entscheidende Unterschied zum Gauß-Algorithmus klar. Wenn ich auf diese Art und Weise weiter machen würde, würde ich die 5, die genau in der Mitte der Ausgangsmatrix steht, nie verändern. Aber gerade dies will ich ja – hier soll ja am Ende eine 1 stehen. Und dies erreichen wir mit einem Kniff: In diesem Beispiel ist es so, dass wir in Zeile zwei der Ausgangsmatrix zweimal die Zahl 5 und eine 0 haben. In diesem Fall können wir die gesamte Gleichung durch die Zahl 5 teilen. Dieser Kniff das ist aber nur dann sinnvoll, wenn am Ende nur ganze Zahlen auf der linken Seite herauskommen.


1

-1

2

|

1

0

0

 

0

5

-5

|

-3

1

0

:5

0

-1

-6

|

-2

0

1

 

Es ist in Ordnung, dass im rechten Bereich der Einheitsmatrix nun Brüche erscheinen.


1

-1

2

|

1

0

0

0

1

-1

|

-3/5

1/5

0

0

-1

-6

|

-2

0

1


3. Schritt Inverse Matrix bestimmen


Die in der nächsten Matrix markierten Zahlen wollen wir noch eliminieren. Gleichzeitig sollen alle Nullen im linken Bereich der Blockmatrix aufgefüllt werden. Deshalb addieren wir die zweite Gleichung einmal zur ersten Gleichung und als nächstes zur dritten Gleichung. Dadurch fallen auf einfachste Art und Weise die negativen Einsen in der zweiten Spalte weg.


1

-1

2

|

1

0

0

+II

0

1

-1

|

-3/5

1/5

0

 

0

-1

-6

|

-2

0

1

+II


Als Ergebnis erhalten wir nun folgende Matrix.


1

0

1

|

2/5

1/5

0

0

1

-1

|

-3/5

1/5

0

0

0

-7

|

-13/5

1/5

1


4. Schritt Inverse Matrix berechnen


Nun erahnt man schon, was als nächstes passiert: Die letzte Gleichung wird durch -7 geteilt.


Tipps:


  1. Es ist immer einfacher mit reinen Brüchen zu rechnen. Zum einen wird die Zeile nicht so lang und zum anderen verändern sich die Werte ja noch laufend. Und ein Weiterrechnen mit dem Bruch -13/5 ist in der Regel leichter als mit -2 3/5.
  2. Gerade in der Übungsphase sollte man jeden einzelnen Schritt im Taschenrechner mitrechnen, so vermeidet man Flüchtigkeitsfehler.

Nun teilen wir also die letzte Gleichung durch die Zahl -7.


1

0

1

|

2/5

1/5

0

 

0

1

-1

|

-3/5

1/5

0

 

0

0

-7

|

-13/5

1/5

1

:-7


Hier das Ergebnis - einfacher geht es nicht!


1

0

1

|

2/5

1/5

0

0

1

-1

|

-3/5

1/5

0

0

0

-1

|

13/35

-1/35

-1/7


5. Schritt


Wenn wir nun die dritte Zeile zur zweiten Zeile addieren und von der ersten Zeile abziehen, sehen wir im linken Teil der Blockmatrix die Einheitsmatrix.


1

0

1

|

2/5

1/5

0

-III

0

1

-1

|

-3/5

1/5

0

+III

0

0

-1

|

13/35

-1/35

-1/7

 

So sieht das Ergebnis aus. Im linken Bereich seht ihr die Einheitsmatrix und rechts ist die inverse Matrix hervorgehoben.


1

0

0

|

1/35

8/35

1/7

0

1

0

|

-8/35

6/35

-1/7

0

0

1

|

13/35

-1/35

-1/7


Hier ging es jetzt wirklich nur um die Technik. Wenn man das Verfahren wirklich richtig verstehen will, sollte man sich noch einmal genau ansehen, welche Schritte genau notwendig sind und noch mehr Zeit in unterschiedliche Aufgaben investieren.


Falls ihr auf Fragen oder Spezialfälle trefft, zögert nicht mir diese zuzuschicken.



Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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