Hier gehts zu den besten Videos zu dem Thema Kettenregel


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Ableitungen mit Kettenregel

Die Ableitung einer Funktion mit der Kettenregel ist eine häufig benötigte Ableitungsregel. Wenn es in der Differenzialrechnung darum geht, die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, bei der eine Verkettung von zwei oder mehr Funktionen vorliegt.
Nachdem Du alle Videos in diesem Beitrag angeschaut und mitgerechnet hast, rockst Du Deine Klausur!

  1. Erkennen: Es gibt eine Funktion, die aus einer inneren und einer äußeren Funktion besteht.
  2. Die Ableitung: besteht dann in der Regel, zuerst die äußere der beiden Funktionen abzuleiten und die innere in der äußeren zu lassen und das ganze noch
    mal mit der Ableitung der inneren zu multiplizieren.

Inhaltsverzeichnis

  • Grundlagen zur Ableitung mit Beispielen
  • Herleitung der Ableitung
  • Mehrfache Verkettung in der Ableitung einer Funktion
  • Kombination mit anderen Regeln
  • Anwendung in Aufgaben

Grundlagen und Beispiele

Zuerst einmal: Was bedeutet eigentlich Verkettung von Funktionen? Man kann zwei Funktionen auf zwei Weisen verketten.
Zwei Beispiele:

Verketten Sie die Funktionen f ung g

f verkettet mit g mit f(x)=e^x und g(x)=3x+3 bedeutet f(g(x)), also soll man die Funktion g an die Stelle in f einsetzen, an der ein x im Funktionsterm steht:

Verketten sie f nach g

Es geht auch umgekehrt, also g verkettet mit f, dann sieht da ganze so aus:

Beispielverkettung

In den ersten Videos zur Ableitung mit dieser Regel wird die Struktur gezeigt.
Wann wendet man die Regel an?
Also wie erkennt man, dass eine Verkettung vorliegt, wie muss die Funktion aus sehen, damit die Ableitung der Funktion mit ihr bestimmt werden kann?
Zum merken: Ableitung äußere Funktion mal Ableitung innere Funktion.

Herleitung Kettenregel

Die Herleitung der Kettenregel ist etwas, was in den meisten Fällen nicht in Klausuren abgefragt wird. Aber anschauen kann man sich die Herleitung mit dem Differenzenquotienten trotzdem.

Mehrfache Verkettung in einer Ableitung

Wenn man die Berechnung dann an einer Funktion anwenden kann, die einmal verkettet sind, dann besteht die nächste Herausforderung darin, die Ableitung einer Funktion zu bilden, die doppelt oder dreifach verkettet sind.

Kombinierte Ableitungen

Ging es bei der Ableitung von mehrfach verketteten Funktionen um eine Kombination aus zwei Kettenregeln, werden in den Videos des nächsten Abschnitts weitere Kombinationen gezeigt. Wenn man das drauf hat, kann einem zum Thema Ableitung von komplizierten Funktionen nicht mehr viel vorgemacht werden.
Die Kettenregel kann auftauchen als

  • Teil einer Produktregel der eine Faktor, zum Beispiel v(x) hat eine innere und eine äußere Funktion und v'(x) muss mit der Kettenregel bestimmt werden.
  • Teil einer Quotientenregel zum Beispiel als Funktion im Zähler und besonders häufig als Funktion im Nenner bei der zweiten Ableitung

Quotientenregel als Teil einer Kettenregel Beispiel 1

Im Beispiel oben sieht man, dass der Funktionsterm insgesamt eine Quotientenregel benötigt. Im Nenner finden wir aber einen Term, der mit der Kettenregel abgeleitet werden muss.

Quotientenregel Beispiel Kettenregel

Das zweite Beispiel zeigt wieder einen Quotiententerm. Also brauchen wir die Quotientenregel, um dieser Hauptverknüpfung gerecht zu werden. Wenn der Zähler in der Quotientenregel abgeleitet wird, braucht man eine Kettenregel dafür.
Also: Bei Brüchen als Funktionstermen immer beachten: Quotientenregel ist die Hauptregel. Immer dann die Kettenregel anwenden, wenn Zähler oder Nenner abgeleitet werden.
Auch die anderen Ableitungsregeln des Ableitens wie Potenzregel und Summenregel können auch als innere Funktion der Funktion auf tauchen. Aber die erkennt man meist leichter.
Bei diesen kombinierten Regeln kommt es also immer darauf an, die Struktur der Funktion genau zu analysieren.

Die Anwendung der Kettenregel

findet man am häufigsten als Teil einer Kurvendiskussion, wenn zum Beispiel Extrema oder Wendepunkte einer Funktion berechnet werden. Oft findet man das Teil auch in der zweiten Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion.
Die Kettenregel ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion .

Liste mit Videos zur Kettenregel

  • Videos zum Einstieg mit Grundlagen und Standardaufgaben für Klausuren
  • Videos zur Herleitung der Kettenregel
  • Mehrfache Verkettung in einer Funktion
  • Kombinationen mit anderen Regeln
  • Anwendung Beispiele

Videos zum Einstieg mit Grundlagen und Standardaufgaben für Klausuren

  • Kettenregel Video
  • Anwendung auf eine e-Funktion
  • Kettenregel versus ausmultiplizieren
  • Anwendung bei Sinus- und Kosinusfunktionen
  • Videos zur Herleitung der Kettenregel
  • Herleitung der Kettenregel
  • Zweifache und Dreifache Verkettung in einer Funktion
  • Doppelte Kette
  • Doppelt verkettete ln-Funktion
  • Dreifache Verkettung
  • Kombinationen mit anderen Ableitungsregeln
  • Ableitung ln-Funktionsschar Produkt- und Kettenregel
  • ln(x)^2 mit unterschiedlichen Regeln
  • e-funktion ableiten Produkt- und Kettenregel
  • Kombinierte Regeln: Produkt und Kettenregel
  • Ableitungsregel spezial: Produkt- in Kettenregel
  • Produktregel mit zwei Kettenregeln kombinierte Ableitung
  • sin(x) mal Wurzel (3x) ableiten
  • Kettenregel Produkt- und Quotientenregel auf einmal
  • Quotient in innerer Funktion
  • Kettenquotient

Anwendung Beispiele

  • Ableitungen und Hochpunktsberechnung e-Funktion
  • Erste und zweite Ableitung gebrochenrationale Funktion
  • Alle Ableitungen inklusive Faktorregel, Potenzregel, Summenregel in einer Übersicht.

Beispiele für Verkettungen von Funktionen

Funktion innere äußere 
e 2 x 2x e x
 sin(x²+2)x²+2
sin(x)
3 x + 7 3x+7
x
 ln(kx+2)kx+2
 ln(x)
  4 x - 5 8 4x-5
x 8

Die Ableitung der oben stehenden Funktionen kannst Du als Übung machen.
Mancher macht das gern nach diesem Schema: als erstes werden innere und äußere Funktionen hingeschrieben und einzeln abgeleitet und dann werden die entsprechenden Funktionen in das Ableitungsgerüst eingesetzt.

Beispiel Anwendung der Kettenregel

Hinweise für Nachhilfelehrer
Ableitungsregeln lassen sich in der Regel in der Nachhilfe gut erklären und einüben. Dabei muss man allerdings darauf achten, dass die Faktorregel, die Potenzregel und die Summenregel sicher sitzen.
Dann ist mir in vielen Jahren Nachhilfeunterricht aufgefallen, dass man mit den Bezeichnungen spielen kann, um möglichst genau die Erklärung für die Kettenregel zu benutzen, die dem einzelnen Schüler, der einzelnen Schülerin passt.
So kann man zum Beispiel statt u(x), was er die äußere Funktion bezeichnet auch ä(x) benutzen. Das ist vor allen Dingen, wenn es Verwirrungen im Zusammenhang mit der Produktregel gibt, ratsam. Außerdem werden sprachlich orientierte Lerntypen so noch einmal besser abgeholt.
Eine weitere Möglichkeit ist, statt ä(x) gleich ä(i) zu benutzen, dann ist die Ableitung ä'(i)*i' intuitiv greifbar.
Um die Struktur zu zeigen, in der die Ableitungsregeln angewendet wird, kann man auf die Buchstaben und Funktionen zumindest am Anfang auch ganz verzichten. Ich nehme dort immer gerne Häuschen und Bäumchen.

Verkettung von Funktionen nach Anweisung

In diesen beiden Videos geht es um die Komposition von zwei Funktionen - einmal wird g(x) mit f(x) komponiert und einmal f(x) nach g(x) verkettet.
Im ersten Video wird g mit f komponiert (ein anderes Wort für verkettet) und danach die neu entstandene Funktion h(x) mit Bruchrechenregeln (z.B. Teilen durch einen Bruch) vereinfacht.
Zwei Funktionen f(x) und g(x) können auf zwei unterschiedliche Arten und Weisen verkettet werden. Entweder es geht um die Verkettung von g nach f oder umgekehrt.
Statt Verkettung spricht man auch von Komposition und statt g nach f benutzt man auch die Formulierung g komponiert mit f oder g verkettet mit f. Das bedeutet beides dasselbe.
Was genau von dir verlangt wird, wenn in der Aufgabe steht verkette die Funktion g nach der Funktion f kannst du dir in den beiden oberen Videos angucken. Ich beschreibe es die auch nochmal hier.

Das Schema zur Verkettung von Funktionen

Grundsätzlich ist es so, dass man die Verkettung auch folgendermaßen aufschreiben kann: g(f(x)). Hier kann man die Arbeitsanweisung sehen. Nämlich an der Stelle, an jeder in der Funktion g(x) ein X steht nach der Verkettung die komplette Funktion f(x) stehen soll.

Verkettung: einsetzen und ausrechnen

Nehmen wir als ein zusätzliches Beispiel zur Verkettung von Funktionen die beiden Funktionen:
f(x)=x² und g(x)=sin(x)
g(f(x))=sin(x²)
In diesem Beispiel ist es anders als in den Videos, dass man die verkettete Funktion nicht noch weiter vereinfachen oder zusammenfassen kann.
In den Videos sieht man, dass die meiste Arbeit oft mit dem zusammenfassen der verketteten Funktionsterme zusammenhängt.

Noch ein Beispiel zur Verkettung von Funktionen

f(x)=e^x und g(x)=1/x
f(g(x))=e^(1/x)
in diesem Beispiel kann man jetzt noch zusammenfassen, denn 1/x ist gleich x^-1 und damit ergibt sich:
e^-x als verkettete Funktion.

Die Verkettung f nach g

Im zweiten Video werden dieselben Funktionen f(x) und g(x) verkettet nur genau anders herum und man kann feststellen, dass die verkettete Funktion dann meistens eine andere sein wird als im ersten Video.
Am Beispiel der ersten beiden Funktionsbeispiele Verkettung wir jetzt die beiden Funktionen anders herum, nämlich f nach g.
Bilder einfügen

Verkettung von Funktionen in der Nachhilfe

Ich habe diese Videos direkt im Anschluss an die Nachhilfe gedreht. Wichtig war, neben den Dingen, die detailliert im Video beschrieben sind auch, dass man sich die Vokabelverkettung auch anders merken kann. Einsetzen oder substituieren sind zum Beispiel zwei Wörter, die man aus der Mathematik der Mittelstufe in der Schule kennt und Klarer zu sein scheint, zumindest für einige Schüler, dass man die eine Funktion an der Stelle des X der anderen Funktion einsetzen soll.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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