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Koordinatenform der Ebenengleichung

Die Koordinatenform ist für viele Aufgaben die Königin der Ebenengleichungen der Vektorrechnung. Das hat ein paar Gründe:

  • viele Berechnungen sind leichter und gehen schneller
  • man braucht nur eine Zeile um sie hin zu schreiben und nicht drei wie bei der Parameterform
  • die Untersuchung der Lage zu Punkten und Geraden sowie Ebenen geht sehr viel schneller 

Wie Sie die Koordinatenform aus?

Bildkoordinatenformebenengleichung

Wofür benutzt man die Koordinatenform?

Die Anwendung der Koordinatenform ist besonders sinnvoll in folgenden Fällen:

  1. Untersuchung von Lagebeziehungen
    1. zu Punkten
    2. zu Geraden
    3. zu Ebenen
  2. Schnittwinkel zu einer Ebene berechnen

Wie berechnet man die Art einer Lagebeziehung zu einer Ebene in Koordinatenform?



Koordinatenform der Ebenengleichung und Punkte

will oder soll man ermitteln, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, die in Koordinatenform vorliegt, so setzt man die Werte für x, y und z in die Ebenengleichung ein. Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse: entweder es ergibt sich eine wahre Aussage, dann ist der Punkt Teil der Ebene oder es ergibt sich eine falsche Aussage, dann liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

Koordinatenform der Ebenengleichung und Geradengleichung

die Gleichung einer Vektor gerade besteht aus drei Zeilen, die jeweils für eine Variable stehen, also für x, y oder z. Diese kann man auch wiederum in die Koordinatengleichung einsetzen. Hier können drei Ergebnisse zu Stande kommen:

eine Lösung für den Parameter der Gerade, dann erhält man die Koordinaten des Schnittpunkt von Gerade und Ebene dadurch, dass man den Wert für den Parameter in die Geradengleichung einsetzt.

Es ergibt sich eine wahre Aussage. Dann verläuft die gerade in der Ebene.

Eine falsche Aussage kannst du so interpretieren, dass Gerade und Ebene parallel verlaufen.

Koordinatenform der Ebenengleichung und zweite Ebenengleichung

Hier kann die zweite Ebenengleichung natürlich in einer unterschiedlichen Schreibweise oder auch in der gleichen Schreibweise vorliegen. Ich empfehle bei dieser Untersuchung, die zweite Ebenengleichung in Parameterform umzuwandeln, denn dann kann man dasselbe Verfahren wie im Beispiel mit der Geradengleichung anwenden.

Wie wandelt man die Koordinatenform in andere Ebenen Gleichungen um?

Die Umformung einer ebenen Koordinatenform in alle anderen Formen der Ebenengleichung findest du im Spezialbeitrag Ebenengleichungen umwandeln.

Wie berechnet man Schnittwinkel mit der Koordinatenform?

Bei der Berechnung eines Schnittwinkels zwischen einer ebenen Koordinatenform und einer anderen Ebene, ist der Königsweg:

  • Umwandlung der anderen Ebenengleichung in die Koordinatenform
  • Berechnung des Winkels zwischen den beiden Normalenvektoren

Soll man den Winkel zwischen einer Ebene im Koordinatengleichung und einer Gerade bestimmen, so bestimmt man den Winkel zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor der Geraden mit folgender Formel:


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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