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Wie wandelt man die Koordinatenform in die Parameterform um?

Eine Ebene in Koordinatenform soll in die Parameterform oder Punktrichtungsgleichung (das mit den Richtungsvektoren und r und s) umgeformt werden. Hier ist Kreativität gefordert und auch eine ganze Menge Vokabeln. Wie sonst ist es zu erklären, dass man bei dieser Aufgabenform häufig nicht mal einen Rechenweg vorfindet. Aber schau mal:

Bist Du wirklich fit beim Thema Umformen von Ebenengleichungen? Alle Umwandlungen und die Übersicht Vektorrechnung.

Eine zweite Möglichkeit zur Umwandlung einer Ebene aus der Koordinatenform in die Parameterform bzw. Punktrichtungsform besteht, die manchem Gehirn noch besser vorkommt: 

Wenn wir die Koordinatenform der Ebenengleichung in die Parameterform umwandeln wollen, müssen wir sie zunächst in die Normalenform bringen.

Das geht ganz einfach, indem man den Normalenvektor n an den Faktoren vor den Variablen der Ebenengleichung abliest. Bei der Gleichung 3x + 4y + 5z = 17 wäre der Normalenvektor also (3/4/5) (untereinander geschrieben). Dazu brauchen wir noch einen Ortsvektor p.

Um diesen zu erhalten, müssen wir die Zahlen für die Variablen (hier x, y und z) so wählen, dass die obige Gleichung erfüllt ist. Sei x also beispielsweise 1 und y = 1, dann müsste z = 2 sein, um die Gleichung 3*1 + 4*1 + 5*2 = 17 zu erfüllen. 

Der Ortsvektor p wäre dann also (1/1/2). Die Normalenform der Ebene wäre dann E: x = (1/1/2)*(3/4/5) = 0.

Die Parameterform schreiben wir uns nun einfach als Gerüst hin E: x = p + s*u + t*v.

Den Ortsvektor p können wir übernehmen, dann brauchen wir für u und v noch zwei Vektoren, die senkrecht (orthogonal) zum Normalenvektor (3/4/5) stehen. Orthogonalität ist immer dann gegeben, wenn das Skalarprodukt der Vektoren Null ergibt. Wir müssen also u und v so wählen, dass n*u = 0 und n*v = 0. Für unser Beispiel: (3/4/5)*(u1/u2/u3) = 0 und (3/4/5)*(v1/v2/v3) = 0. 

Oder:
3u1 + 4u2 + 5u3 = 0 und
3v1 + 4v2 + 5v3 = 0.
Zur Bestimmung geeigneter Werte für u1,u2,u3 und v1,v2,v3 nehmen wir einfach je zwei Komponenten, die jeweils nicht 0 sind, tauschen diese aus und multiplizieren eine mit -1.
Die dritte Komponente setzen wir 0.
Also z.Bsp: (4/-3/0) oder (5,0,-3) oder (0/5/-4) all diese Vektoren erfüllen die Bedingung: senkrecht zu (3/4/5).
Wichtig ist noch, dass beide Richtungsvektoren linear unabhängig sind.

Jetzt brauchen wir nur noch entsprechende Zahlenwerte einzusetzen und haben die Ebenengleichung in der Parameterform: x = (1/1/2) + s(-3/1/1) + t(-4/3/0).


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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