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Gerader und schiefer Kreiskegel

Einen Kreiskegel kennt jeder. Wenn irgendwo auf der Straße eine Baustelle ist, das werden dort Kreiskegel aufgestellt. Und auch im Sportunterricht (nicht immer nur Mathematik) werden gern Hütchen benutzt. Und die haben die Form von einem geraden Kreiskegel.

Bezeichnungen beim Kegel und was man alles berechnen kann

  • Seite
  • Höhe
  • Grundfläche
  • Mantel
  • Oberfläche
  • Volumen

Formeln zum Kreiskegel

Als erstes musst Du Dir überlegen, dass die Grundfläche eines Kegels ein Kreis ist. und wenn man den Kegel einmal durchschneidet von ganz oben, also von der Spitze bis nach unten in der Mitte: dann sieht die Schneidefläche aus wie ein gleichschenkliges Dreieck.

Guckst Du Dir jetzt die Höhe des Körpers Kegel an, dann kannst Du sehen, dass diese Höhe den Querschnitt des Kreiskegels in der Mitte teilt und sich so zwei rechtwinklige Dreiecke bilden. Also braucht man für die Berechnungen am Kreiskegel auch die Formeln von

  • Kreis
  • Dreieck
  • Satz des Pythagoras

Kegeloberfläche in PQ-Formel

Die Oberflächenformel für einen Kegel lässt sich recht einfach in die PQ-Formel umformen.

Die allgemeine Formel zur Oberflächenberechnung eines Kegels lautet:

A0 = π r2 + π s r

Schon an dieser Stelle ist zu erkennen, dass die Formel Ähnlichkeiten mit der PQ-Formel aufweist. Es ist eine Variable hoch zwei (r2) vorhanden und die gleiche Variable, durch ein Plus getrennt, ohne Hochzahl (r). Um die Form, die man in die PQ-Formel umformen kann, zu erhalten, fehlt noch eine einfache Zahl am Ende ohne die Variable „r“. Dies erreichen wir durch Umstellen der Kegeloberfläche A0. Außerdem muss dann noch durch Pi geteilt werden damit r2 alleine ohne Faktor steht.

A0 =  π r2   + π s r                       | -A0

 0 =  π r2   + π s r  -  A0                | : π

 0 =     r2  +   s r  -  A0/π

 0 =     x2  +   p x  + q                 allg. um in  PQ-Formel  umzuschreiben 

Alle Variablen, die nicht „r“ sind, werden als normale Zahl behandelt. Aus dem nun Umgeschriebenen lässt sich eine PQ-Formel erstellen.

r1/2 = s/2  +-  √ [(s/2)2 + A0/π ]

x1/2 = p/2  +-  √ [(p/2)2 + q ]           allg. PQ-Formel

Hat man nun Angaben für „Ao“ und „s“, die Höhe/Lange des Kegels, kann man diese in die Formel einsetzen und erhält so den Radius des Kegels. Mit der PQ-Formel errechnet man jedoch zwei Ergebnisse, da einmal die Wurzel von p/2 abgezogen wird und einmal dazugerechnet wird. Darum muss das negative Ergebnis, welches man erhält, als falsch erklärt werden, da es keine negativen Strecken gibt.

Weitere Aufgaben, in denen der Kegel vorkommt

In Extremwertaufgaben kommen viele geometrische Figuren und Körper vor, der Kegel ist da keine Ausnahme.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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