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Lagebeziehungen analytische Geometrie

Die Lagebeziehungen in der analytischen Geometrie bzw. Vektorrechnung werden zwischen Punkt, Gerade, Ebene, Kreis und Kugel bestimmt.

Auf dieser Seite findest Du alle denkbaren Kombinationen:

Ein Punkt kann nur entweder Teil einer Gerade bzw. Ebene sein oder nicht. Er kann innerhalb einer Kugel liegen auf der Kugelebene oder außerhalb der Kugel.

Lagebeziehung Gerade Punkt

Diese Lagebeziehung ist schnell beschrieben. Es gibt nur zwei Möglichkeiten, wie ein Punkt und eine Gerade zueinander liegen können: Entweder der Punkt liegt auf der Geraden oder er tut es nicht. Woher weiß man, was der Fall ist?
Man setzt den Punkt für den Vektor x in der Geradengleichung ein und löst dann jede einzelne Koordinatengleichung nach dem Parameter auf. Wenn überall dieselbe Zahl raus kommt, dann liegt der Punkt auf der Geraden, andernfalls nicht.

Wie bestimmt man die Lagebeziehung von Kreis und Punkt?

In einer Aufgabe zur Vektorrechnung ist eine Kreisgleichung gegeben und die Frage wird gestellt, ob ein ebenfalls in der Aufgabe angegebener Punkt auf dem Kreisbogen. Um es vorweg zu nehmen, ein Punkt kann nur entweder auf dem Kreisbogen, der Kreislinie liegen oder eben nicht. Und ebenso viele Möglichkeiten gibt es für ein Ergebnis.
Setze als erstes den Punkt in die Kreisgleichung ein. Rechne als zweites so lange, bis du zu einer Gleichung kommst, die du interpretieren kannst.
Was meine ich damit: interpretieren?
Nun ja du hast mehrere Möglichkeiten für ein Ergebnis, die will ich Dir hier einmal genauer schildern.
Entweder ergibt sich eine wahre Aussage oder eine falsche Aussage kommt heraus. 
Bei einer wahren Aussage liegt der Punkt auf dem Kreisbogen Bein einer unwahren Aussage oder falschen Aussage liegt der Punkt nicht auf der Kreislinie, dann kann er noch innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen.
Lagebeziehung Kreis Punkt und der Punkt liegt auf der Kreisfläche, also innerhalb des Kreisbogens
Hier greift eine wichtige Vokabel: auf der einen Seite der Kreisgleichung steht ja das Quadrat des Radius ist das Ergebnis auf der anderen Seite der Gleichung kleiner als das Quadrat des Radius, so ist der Abstand des Punktes vom Mittelpunkt des Kreises geringer als der Abstand jedes Punktes, der auf der Kreislinie liegt und also liegt unser Punkt auf dem Kreis. Also auf der Kreisfläche.

Wie berechne ich die Lagebeziehung von Ebene und Punkt?

Diese Aufgabe aus der Vektorrechnung im folgenden Video lautet: Prüfen Sie ob der Punkt P in der Ebene E liegt.

Lagebeziehung Ebene Punkt


Das heißt schonmal, dass wir die Lagebeziehung des Punktes P zur Ebene E überprüfen sollen. Als erstes setzten wir den Punkt P alsVektorgeschrieben gleich der Ebene E. Daraus wird dann ein lineares Gleichungssystem gemacht. 

Lagebeziehung Ebene Punkt Ansatz


Das heißt wir müssen nun drei Reihen bilden, und alle X, Y und Z Koordinaten getrennt voneinander aufschreiben. Wir nutzen hier das Einsetzungsverfahren, um zur Lösung zu gelangen. Fangen wir mit der X-Koordinate an: 

Erste Koordinatengleichung nach Parameter auflösen


Das kann nun in die zweite Gleichung (Die Y Gleichung) eingesetzt werden: 

Parameter in zweite Gleichung einbauen und auflösen


Wenn wir das jetzt wieder in unser s einsetzen: 

AUsrechnen Parameter Lagebeziehung Ebene Punkt


Jetzt müssen wir das r und das s noch in die letzte Gleichung (die Z-Koordinate) einsetzen: 

Interpretation der Lagebeziehung Ebene Punkt

Hier kommt also am Schluss eine falsche Aussage raus. Weil das der Fall ist, ist der Punkt  P nicht Element der Ebene E und liegt demnach nicht auf der Ebene. Hätten wir eine wahre Aussage herausbekommen, so hätte der Punkt P auf der Ebene E gelegen. Das gilt es also immer zu überprüfen. 

Lagebeziehung Punkt Ebene in Koordinatenform 


Wir können die Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene auch herausbekommen, wenn wir die Koordinatenform der Ebene und den Punkt gegeben haben. Im Prinzip geht das noch einfacher, als mit der Ebene in Parameterform. Wie man eine Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform umwandelt, finde ihr auch in einem Video hier bei Oberprima. 

Jetzt zur Aufgabe, folgendes ist gegeben: Eine Ebene in Koordinatengleichung lautet: 3x-2y+4z=7 und ein Punkt P(2|3|-2):

Nun können wir den Punkt einfach in die Koordinatenform einsetzen und dann überprüfen, ob sich eine wahre Aussage ergibt. P (2|3|-2) ist ja P (X|Y|Z ), das heißt die 2 ist die X Koordinate, die 3 ist die Y Koordinate und die -2 ist die Z Koordinate. Deshalb können wir das genauso einsetzen, d.h für X setzen wir 2 ein, für Y 3 und für Z die -2: Ebene Kordinatenform Punkt gegenseitige Lage

Da hier nun eine falsche Aussage herauskommt, liegt der Punkt P nicht auf der Ebene E. Man hätte nun auch eine andere Ebenengleichung gegeben haben können, zum Beispiel: 

Gegenseitige Lage Punkt Element der Ebene


Es kommt eine wahre Aussage heraus. Der Punkt P liegt auf / in der Ebene E.

Regel:

  • Wahre Aussage = Punkt liegt auf Ebene
  • Falsche Aussage = Punkt liegt NICHT auf Ebene

Lagebeziehung Gerade Gerade

Eine Gerade kann mit einer anderen Geraden 4 unterschiedliche Lagebeziehungen eingehen, nämlich :

  1. Sie sind parallel.
  2. Sie sind identisch.
  3. Sie schneiden sich in einem Punkt.
  4. Sie sind windschief.

Bei solcher Art Aufgabe gibt es ein Schema:
1. Überprüfen der Kollinearität der Richtungsvektoren. Anders ausgedrückt: Check aus, ob Du den Richtungsvektor der ersten Geraden mit einer Zahl malnehmen kannst, so das der Richtungsvektor der anderen heraus kommt.
Hier ein Beispiel:
g : x = ( 1 2 3 ) + r ( 2 2 2 )

Parallele Geraden haben kollineare Richtungsvektoren. Wenn der eine Richtungsvektor sich mit dem zweiten Richtungsvektor ausdrücken lässt, können die Geraden parallel oder identisch sein. In diesem Fall ist g "echt parallel" zu der Geraden h. h : x = ( 1 2 4 ) + r ( 1 1 1 )

Wie man den Abstand paralleler Vektorgeraden berechnen kann, kannst Du Dir hier in mehreren Varianten angucken. Wenn herausgekommen ist, dass die beiden Richtungsvektoren kollinear sind, kann man noch nicht sagen, dass die beiden Geraden parallel sind. Dafür müssen wir noch abchecken, ob die geraden nicht evtl. identisch sind.

2. Identische Geraden mit Vektoren

Dazu wird jetzt gecheckt, ob der Ortsvektor der einen Geraden zusätzlich noch auf der anderen Geraden liegt. Dazu auch wieder ein Beispiel:
g : x = ( 1 2 3 ) + r ( 2 2 2 ) ist mit i identisch: i : x = ( 3 4 5 ) + r ( 1 1 1 )
3. Wie berechnet man den Schnittpunkt von zwei Geraden

Ob sich zwei Geraden schneiden wird am "logischsten" überprüft. Nämlich so, wie man das bei Funktionen kennt: durch Gleichsetzen der Geradengleichungen. Der Schnittpunkt von zwei Vektorgeraden wird berechnet, wenn die Geraden nicht mehr parallel oder identisch sein können. Dann setzt man die Geraden gleich (gern auch gleich als Gleichungssystem).
Zwei Geradenscharen mit Vektoren sind gegeben, eine jede weist einen Parameter auf und die spezielle und gar nicht so seltene Frage ist: Für welchen Wert des Parameters schneiden sich die Geraden und für welche Werte schneiden sie sich nicht.

4. Windschiefe Geraden ist quasi das "Abfallprodukt" dieses Überprüfungsschemas. Alles, was nicht parallel, identisch oder schneidend ist, ist windschief:

Wie bestimmt man die Lagebeziehung von Ebene und Gerade

Zunächst einmal sollte man sich klarmachen, dass eine Ebene und einer Geraden genau drei Möglichkeiten haben zueinander zu liegen.

  1. Die Gerade verläuft in der Ebene
  2. die Gerade ist parallel zu der Ebene
  3. Gerade und Ebene bilden einen Schnittpunkt

Für die Gerade gibt es eine klassische Schreibweise, und das ist die Parameterform. Für die Ebenengleichung in der Vektorrechnung gibt es sehr viele verschiedene Schreibweisen. Mit jeder dieser Formen der Ebenengleichung lässt sich die gegenseitige Lage bestimmen, aber empfehlenswert ist aber eigentlich nur die Koordinatenform. Denn es soll ja auch schnell gehen. In der Klausur. Denn es geht um Punkte.
Deshalb zeige ich dir hier zuerst den Weg, den ich empfehle und danach findest du hier noch weitere Beispiele, die du dir aus Interesse anschauen kannst und manchmal musst du sogar einen dieser Wege gehen, zum Beispiel wenn dein Lehrer dir diese Form der Ebene noch gar nicht gezeigt hat.

Lagebeziehungen von Geraden und Ebene in Koordinatenform

Vor dir liegt die Ebenengleichung: E: 2x+3y+4z=5
Du setzt die x Koordinate der Geraden an der Stelle in die Ebenengleichung ein, wo das x steht. Dasselbe machst du auch mit den anderen beiden Koordinaten und erhälst dann eine Gleichung, in der nur noch der Parameter der Geraden vorkommt.
Fällt der Parameter der Geradengleichung weg, so kann sich entweder eine wahre oder eine falsche Aussage ergeben. Die wahre Aussage interpretieren wir dahingehend, dass jeder Punkt der Gerade auch Teil der Ebene ist, also verläuft die Gerade in der Ebene.
Bei einer falschen Aussage stimmen Gerade und Ebene in keinem Punkt über ein. Dieser Fall ist dann gegeben, wenn die beiden parallel sind.

Schnittpunkt Gerade Ebene

Fällt der Streckfaktor der Gerade nicht weg, so kann man die Gleichung nach diesem auflösen. Setzt man dann das Ergebnis in die Gerade ein, so erhält man den Schnittpunkt von Ebenengleichung und Geradengleichung.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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