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Berechnen Sie die Grenzwerte an den Definitionslücken, und zwar von rechts und links. Dazu schnappen wir uns eine Nullfolge, wie z.B. 1/n und lassen dann n gegen unendlich streben. Die Umformungsschritte schnappst Du Dir im Video :)

Hinweis: Ganz am Ende mache ich die grafische Darstellung an der Stelle x=-3 - das muss natürlich x=3 heißen, es geht ja in dem Video die ganze Zeit um x=3. Danke an Hannes, der das bemerkt hat!

Alle Videos zum Thema:

Limes Grenzwert Sammlung

Aus dem Video:

Grenzwertberechnung von rechts und von links

Die gestellte Aufgabe ist folgende: Berechnen Sie die Grenzwerte an den Definitionslücken.

lim (x ->)

In diesem Fall, darf ich hier im Nenner, bzw. insgesamt, die 3 nicht einsetzten. Denn dann wird der Nenner 0. Die korrekte Schreibweise des Limes ist hier also:

lim (x -> 3)

Nun die Annäherung von rechts (+ 0):

(Wichtig: Es gibt viele verschiedene Schreibweisen)

lim (x -> 3 + 0)

daraus ergibt sich:

denn 0 wird immer durch eine Nullfolge ersetzt. Somit kann man im nächsten Schritt schreiben:

lim (n -> 8) also:

jetzt hat man eine Nullfolge, bei der man das Unendliche immer noch nicht einsetzten darf. Aber, wir haben einen Doppelbruch, denn die Klammer oben wird durch einen Bruch geteilt:

Man teilt durch einen Bruch, indem man ihn mit seinem Kehrwert multipliziert:

( = ) also: jetzt kann man die Klammer auflösen:

lim (n -> 8) oder um ganz korrekt zu sein: lim (n -> 8) lim (n -> 8)

jetzt kann man das Unendlich einsetzten: lim (n -> 8) ist gleich 1 und lim (n -> 8) ist gleich 3 8. Also: 3 8+1. Und das ist dann 8 und zwar + 8.

Annäherung von links (- 0):

lim (x -> 3 - 0) und daraus ergibt sich:

lim (n -> 8) also: multipliziert mit dem Kehrwert:

daraus folgt: -

und um wieder ganz korrekt zu sein lim (n -> 8) - lim (n -> 8)

nun wird wieder der Grenzwert von n gegen Unendlich eingesetzt:

lim (n -> 8) ist gleich 1 und lim (n -> 8) - ist gleich -3 8. Also: -3 8+1. Und das ist dann 8 und zwar - 8.

Würde das man grafisch in einem xy Diagramm betrachten und auf der x-Achse

–3 einzeichnen, so würde bei einer Rechtsannäherung der Graph ins +8 und bei einer Linksannäherung ins -8 verschwinden. D.h. bei einer Rechtsannäherung gibt es einen positiven und bei einer Linkannäherung einen negativen Pol. 


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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