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Berechnen Sie die Grenzwerte für die Funktionswerte einer gegebenen Funktion, wenn die x Werte gegen minus unendlich oder plus unendlich streben.

Das ist eine Aufgabe, wenn man sich im Bereich Differenzial Rechnung öfter gegenübersieht. Es lohnt sich, die grundsätzlichen Eigenschaften und Vokabeln zu allen Funktionstypen, zu denen man diese Aufgabe berechnen können will auswendig am Start zu haben.

Grundlagen Limes x gegen unendlich

ganzrationale Funktionen, deren

a. höchster Exponent ungerade ist

b. Höchste Exponent gerade ist

bei diesen beiden Fällen unterscheidet man dann noch, ob der Koeffizient vor diesem x mit dem höchsten Exponenten positiv oder negativ ist.

Bild Limes X gegen unendlich ganzrationale Funktion

wie du sehen kannst, streben die ungeraden Funktionen für Limes X gegen minus unendlich immer in das Gegenteil von X gegen plus unendlich. Oder anders ausgedrückt: verläuft der Graph einer solchen Funktion ganz weit links im Koordinatensystem nach ganz weit unten, so verläuft der ganz weit rechts im Koordinatensystem nach ganz weit oben.

Die geraden Funktionen Streben sowohl im Bereich X gegen minus unendlich als auch im Bereich X gegen plus unendlich in dieselbe Richtung der Y Werte.

Limes X gegen unendlich bei gebrochen rationalen Funktionen

Bei gebrochen rationalen Funktionen haben wir immer einen Zähler und einen Nenner. Der höchste Exponent der Funktion, die im Zähler steht ist der Zählergrad analog kannst du dir das natürlich auch für den Nennergrad merken..

Hier gibt es eine Berechnung mit ausklammern und eine Vorbetrachtung, bei der man Zählergrad und Nennergrad anschaut.

  • Zählergrad größer Nennergrad: in diesen Fällen ist das Ergebnis der Limesbetrachtung für X gegen unendlich wieder unendlich.
  • Zählergrad gleich Nennergrad: hier streben die Funktionswerte für Limes X gegen unendlich gegen eine Zahl. Dieser Feste Wert ist die Gleichung der waagerechten Asymptote und berechnet sich aus dem Quotienten der Koeffizienten der Terme, die den Grad der Zählerfunktion unter Nennerfunktion bestimmen.
  • Zählergrad kleiner Nennergrad: in diesem Fall ergibt sich ein Grenzwert (Limes X gegen unendlich) gleich null.

Langform der Limesberechnung X gegen unendlich mit ausklammern

Schau dir der als erstes den Grad der Zählerfunktion unter Nennerfunktion an. Ist der Grad des Zählers zum Beispiel vier und der Grad des Nenners sechs, dann klammerst du sowohl über dem Bruchstrich als auch unter dem Bruchstrich x^4 aus. Also immer den kleinsten von den beiden höchsten.

In diesem Beispiel ergibt sich dann, nachdem man das ausgeklammerte gekürzt hat im Zähler eine Konstante und mehrere Nullfolgen und im Nenner bleibt eine Potenz von x, konkret x² stehen.

Setzt man jetzt unendlich für X ein, bleibt im Zähler der Konstante Wert, die Zahl, stehen und im Nenner ergibt sich der Grenzwert unendlich. Und 1 durch unendlich ist null. So kann man für alle oben genannten Fälle der Limesbetrachtung für X gegen unendlich von gebrochen rationalen Funktionen vorgehen.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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