Hier gehts zu den besten Videos zu dem Thema Lineare Funktion


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Die lineare Funktion

Die lineare Funktion hat die allgemeine Funktiongleichung
y=mx+b
Der Graph einer solchen Funktion ist ein unendlich langer, gerader Strich und weil man einen solchen Strich gerade mit einem Lineal zeichnen kann, kann man sich merken, eine Gerade ist eine lineare Funktion.

Videos zum Thema lineare Funktion:

  • Basisvideos
  • mit Parameter
  • Aufgaben, Textaufgaben und Sachaufgaben
  • Dreiecke und lineare Funktionen
  • Differenzialrechnung und Kurvendiskussion
  • Integralrechnung und Analysis

Einführung zur Geraden

Kommen wir gleich zum Einführungsvideo "Lineare Funktion: Alles zur Geraden", in dem Du Dir mit den Vokabeln zu dieser Art von Funktionen einen einen Überblick über die wichtigsten Teile der linearen Funktion verschaffen kannst. Darunter findest Du sinnvoll aufgeteilt alle Videos zur Vertiefung spezieller Fragestellungen, wie sie auch in Klassenarbeiten vorkommen können.

Wie sieht die allgemeine Form der Geraden aus?

  • Steigung einer Geraden
  • Basisvideo Achsenschnittpunkte
  • Steigung lineare Funktion durch 2 gegebene Punkte
  • Steigung lineare Funktion aus dem Steigungswinkel
  • Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer linearen Funktion mit dem Satz des Pythagoras
  • Bestimmung der linearen Funktion aus Steigungswinkel und Punkt
  • Bestimmung lineare Funktion aus Steigung und Schnittpunkt mit der Ordinate
  • Bestimmung lineare Funktion aus b und einem Punkt auf dem Graphen
  • Bestimmung lineare Funktion aus zwei Punkten

Weitere wichtige Aufgabenstellungen und die Videos dazu:

  • Video zur Punktprobe
  • Liegt ein gegebener Punkt auf dem Graphen oder nicht?

Um den Graphen in ein Koordinatensystem zu zeichnen braucht man mindestens zwei Punkte.

  • Video: Schnittpunkt von Geraden
    Die Graphen von Geraden können sich höchstens in einem Punkt schneiden.
  • Video: Schnittwinkel
    Die Graphen zweier linearer Funktionen schneiden sich und der Winkel den die Graphen einschließen, ist der Schnittwinkel, der immer kleiner als 90° ist.
  • Video: Ursprungsgerade
    Diese Graphen verlaufen im Koordinatensystem durch den Punkt (0|0).
  • Video: Senkrechte Geraden
  • Video: Parallele Geraden
  • Video: Punkt auf Gerade vervollständigen

Lineare Gleichung auflösen

Dazu auch noch einmal ein Spicker für die Klassenarbeit über die lineare Funktion:

Aus dem ersten Video:
Die Gleichung einer Geraden hat immer die Form y=m*x+b.
Statt b findet man manchmal aber auch n. Das m steht für die Steigung der Geraden, das b ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.
Zwei Punkte auf einer Geraden werden allgemein beschrieben durch Punktkoordinaten. So hat zum Beispiel der Punkt P die Koordinaten (x1;y1) und der Punkt Q die Koordinaten (x2;y2).
Die Steigung einer Geraden ist nun definiert durch
m=y1-y2x1-x2
Hat der Punkt P beispielsweise die Koordinaten (5;5) und Q (0;0) ist m=1. Die Steigung kann aber auch beschrieben werden durch einen Winkel a: tan(a)=m oder a=arctan(m). Das bisher genannte ist vergleichbar mit Vokabeln lernen. Wenn man sich diese Dinge merkt, fallen einem dazu passende Aufgaben viel leichter.
Den Abstand d zwischen zwei Punkten, lässt sich mit dem Satz von Pythagoras ausrechnen. So ist d die Wurzel aus (x1-x2)²+(y1-y2)².
Wenn zur Bestimmung der Gleichung einer Geraden (wird auch Geradengleichung genannt) die Steigung mit m=2 und ein Punkt mit den Koordinaten (3;5) vorgegeben sind, kann man diese Werte in  y=mx+b einsetzen, in diesem Beispiel also 5=23+b. Durch Umstellen  nach b erhält man schließlich für b=-1. Die Geradengleichung lautet hier also y=2x-1.
Nun ist gegeben b=5 und P=(2;7). Auch hier muss man die Zahlen einfach wieder in die Grundgleichung einsetzen: 7=m2+5. Durch Umstellen nach m erhält man m=1 und somit y=1x+5.

Hat man nur zwei Punkte gegeben, errechnet man wie bereits beschrieben die Steigung m. Nun kann zur Bestimmung der Geradengleichung genauso vorgegangen werden wie in dem Fall, bei dem nur die Steigung und ein Punkt gegeben waren. Dazu sucht man sich von den beiden Punkten einen beliebigen aus und berechnet noch den Achsenabschnitt.

mit Parameter

  • Video: Funktionsschar mit positiven Achsenschnittpunkten
  • Video: Lineare Funktionsschar Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  • Video: Flächenberechnung mit linearer Funktion
  • Aufgaben, Textaufgaben und Sachaufgaben

Anwendungsaufgabe mit Autos : Die Graphen von vier Geraden beschreiben die Bewegung von 4 Fahrzeugen. Anhand der Funktionsgleichungen kann kann man Ihren Treffpunkt, sowohl zeitlich als auch örtlich berechnen und wenn man sie in ein Koordinatensystem einzeichnet, dann kann man das ganze auch zeichnerisch nachvollziehen.

  • Video: Lineare Kostenfunktion
  • Video: Lineares Zahlenrätsel
  • Video: Lineare Trendfunktion

In diesen Beiträgen findest Du kein Video, sondern Textaufgaben, in denen als Hilfestellung Links zu Videos enthalten sind:

  • Sachaufgabe Autovermietung
  • Textaufgabe Stromkonzern

Aufgabe : Gegeben sind die Punkte A(-2/3|3) und B (2|1/2) 1. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g (lineare Funktion), auf der sich die Strecke AB befindet. Geben Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der Strecke AB an. Berechnen Sie die Gleichung der Geraden h, die senkrecht durch den Mittelpunkt der Strecke AB verläuft.

  • Lineare Funktion und die Graphen von linearen Funktionen im Zusammenhang mit Dreiecken
  • Differenzialrechnung oder Kurvendiskussion

Auch in diesem Bereich kommt die lineare Funktion vor, zum Beispiel als Tangente und zumindest in der Vorbereitung zu Ableitungen. Hier kommt vielen die Gerade erst gar nicht mehr so bekannt vor, aber sie ist es doch.
Im Sammelbeitrag Differenzenquotient bzw. Differenzialquotient findest Du ein Video zur Bestimmung des Differenzenquotienten und damit der Steigung einer Geraden.

Lineare Funktionsgleichungen in der Integralrechnung
Auch hier kommen lineare Funktionen vor, zum Beispiel bei der Flächenberechnung im Video Fläche zwischen linearer und Wurzelfunktion oder in Aufgaben, in denen eine Ursprungsgerade (lineare Funktion, bei der in der das b gleich Null ist) eine Fläche unter oder zwischen Funktionen teilt wie hier.

Wie berechnet man den Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen?

Stell dir vor, du hast insgesamt zwei Geradengleichungen vor dir liegen und dich interessiert nun, ob diese beiden Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt aufweisen oder eben nicht. Meistens ist das „ob“ nicht so sehr die Frage, sondern eher, wo denn der gemeinsame Schnittpunkt liegt. Es gibt nämlich nur einen einzigen Fall, bei dem zwei Geraden keinen gemeinsamen Schnittpunkt aufweisen und zwar genau dann, wenn deren Steigungen identisch sind. Demgegenüber stehen unendlich viele Möglichkeiten, bei denen einen Schnittpunkt auftaucht.

Ein Schnittpunkt definiert sich darüber, dass die x- sowie die y-Koordinate der ersten Geraden mit jeweils der x- und y-Koordinaten der zweiten Geraden übereinstimmen. Das bedeutet, dass die erste Funktion f an der Stelle x=2 den Funktionswert f(x=2)=9 und g(x) an der Stelle x=2 ebenso den Funktionswert g(x=2)=9 aufweist.

Die Bestimmung oder grundsätzlich die Suche nach einem Schnittpunkt gestaltet sich relativ einfach. Die Bedingung, die zu Anfang formuliert werden muss, lautet strikt „Funktionswert der 1. Funktion ist gleich dem Funktionswert der 2. Funktion“. Mathematisch elegant ausgedrückt lässt sich das nach Definition der Funktionsgleichung der ersten und zweiten Geraden folgendermaßen festhalten.

1. Geradengleichung:f(x)=m*x+n(1)
2. Geradengleichung:g(x)=c*x+d(2)
Bedingung für Schnittpunkt:m*x+n= c*x+d(3)
Ab dieser Stelle musst du lediglich noch die Gleichung (3) nach x auflösen und erhältst dann Gleichung (4).
x=(d-n)/(m-c)(4)
Der Wert für x teilt dir die x-Koordinate des gemeinsamen Schnittpunktes mit. Und die y-Koordinate? Dazu „nimmst“ du einfach das soeben berechnete x und setzt dieses in eine der beiden Geradengleichungen (1) oder (2) ein. Die ausgewählte Funktion wird dir dann zu genau diesem x-Wert einen y-Wert ausgeben. Dieser stellt dann die gesuchte y-Koordinate des gemeinsamen Schnittpunktes dar. Es ist grundsätzlich egal, ob du nun mit Hilfe der 1. oder der 2. Geradengleichung die y-Koordinate bestimmst. Egal, für welche Gerade du dich auch entscheidest, der Funktionswert muss natürlich zwingend immer der gleiche sein, denn sobald du eine x-Koordinate des Schnittpunktes gefunden hast, bedeutet das im selben Moment auch, dass es eine zugehörige y- Koordinate geben muss und darüber hinaus, dass sich beide Geradengleichungen in einem Punkt schneiden müssen, ergo müssen auch die Funktionswerte (y-Koordinaten) identisch sein.

Solltest du nach Aufstellung der Bedingung für den Schnittpunkt den Fall vorfinden, dass es keinen Schnittpunkt gibt, so erkennst du das schnell daran, dass die beiden Faktoren vor dem x, also die Steigungen identisch sind. Subtrahierst du auf beiden Seiten diesen (gleichen) Faktor mal x, so bleibt nur noch stehen: „y-Achsenabschnitt der ersten Geradengleichung ist gleich dem y-Achsenabschnitt der zweiten Geradengleichung“. Wenn du es mit zwei verschiedenen Geraden zu tun hast, ergibt sich jetzt ein Widerspruch, der sich durch die Behauptung „Zahl 1 gleich Zahl 2 bemerkbar“ macht. Somit hat sich die Aufgabe selbst verraten und aus dem Widerspruch, der aus der Bedingung abgeleitet wurde, kann für diesen Fall gefolgert werden, dass es keinen gemeinsamen Schnittpunkt gibt.

Lineare Funktion zeichnen: eine Gerade

Eine lineare Funktion soll gezeichnet werden. Dazu kann man zuerst eine ausführliche Wertetabelle aufstellen, man kann aber auch nur 2 Punkte einzeichnen, um eine lineare Funktion zu zeichnen. Und hier findest Du noch ein paar Videos mehr, wie man lineare Funktionen noch zeichnen kann.
Der Graph einer linearen Funktion ist ein Gerade. Wie man eine Geraden aus einer linearen Funktion mit gegebenen Eigenschaften zeichnet, zeigen die Videos oben.
Gegeben ist die Funktionsgleichung y=3x+2.
wenn wir dem Graphen dieser linearen Funktion zeichnen wollen, so haben wir mehrere Möglichkeiten.
Entweder stellen wir eine komplette Wertetabelle her und jeden einzelnen Punkt ein und verbinden dann diese Punkte. Dabei merken wir dann ganz schnell, dass eigentlich zwei Punkte ausreichend gewesen wären um die lineare Funktion zu zeichnen.
Es gibt aber noch eine Möglichkeit, den Graphen zu zeichnen.
Dazu gucken wir uns erst noch einmal die allgemeine Form der linearen Funktion an: y=mx+b
Das m ist dabei die Steigung und das b ist der Y Achsen Schnittpunkt.
Wenn man mit diesen beiden Werten die lineare Funktion zeichnen, muss man sich folgendes merken:

  • als erstes markiert man b auf der y-Achse
  • als zweites fasst man das m als Bruch auf. Ist m wie im Beispiel oben 3, denkt man sich dabei 3/1. und das bedeutet, dass man vom Schnittpunkt mit der y-Achse zum nächsten Punkt kommt, indem man eine Einheit nach rechts (man kann auch ein Kästchen nehmen) und dann drei Einheiten nach oben zählt und dort ein Kreuz macht.

Dieses Verfahren ist deutlich schneller als das mit der Wertetabelle.
Beispiele zum Zeichnen linearer Funktionen

y=-1/4 x+4
y=3/2 x+0,5
im ersten Beispiel macht man ein Kreuz auf der y-Achse bei der vier, und von dort aus zählt man vier Einheiten nach rechts und eine nach unten, wenn die eins hat ja ein negatives Vorzeichen.
Die zweite lineare Funktion zeichnet man wie folgt: Zuerst eine Markierung im Punkt (0|0,5) und von dort aus zählt man zwei Einheiten nach rechts und drei nach oben.

Die beiden Punkte werden dann jeweils verbunden und die gerade durchgezogen bis zum Rand des Koordinatensystems.

Besondere lineare Funktionen zeichnen
so ganz besonders sind diese Funktionen zwar nicht, wenn man sich auskennt, aber sie führen immer wieder zu Fragen.
y=x
dies ist die Winkelhalbierende im ersten und dritten Quadranten, nur damit man den Namen mal gehört hat. Man kann sie auch ausführlich schreiben:
y=1x+0
und wenn man sich das gemerkt hat, dann kann man die lineare Funktion ganz normal zeichnen, also so wie oben beschrieben.
y=17-x
diese Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist ein bisschen anders aufgeschrieben, als man das kennt denn das b steht vor dem Ausdruck mit X.
Man kann diese Funktion auch so schreiben:
y=-1x+17
und dann wieder so vorgehen wie gewohnt.

Wie zeichnet man den Graphen einer linearen Funktion, wenn zwei Punkte gegeben sind?

Gegeben sind zum Beispiel zwei Punkte A(1|-2) und B(2|3), aus denen wir die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen wollen.
Dazu brauchen wir drei Vokabeln:
1. y=mx+n allgemeine Form einer linearen Funktion
2. m=(y2-y1)/(x2-x1) Steigung einer Geraden
3. Einsetzen von m und Punkt A oder B in die allgemeine Funktionsgleichung
Ein Wort zur Steigung: was sind denn x1 und so weiter? Am einfachsten zu merken ist das so: A(x1|y1), also der erste Punkt besteht aus den X1 Wert und dem Y1 Wert. Daraus ergibt sich dann, dass der zweite Punkt die anderen beiden Werte zugeordnet bekommen muss.
Hat man also diese beiden Punkte, so kann man die jeweiligen Werte in die Formel für m einsetzen und hat die Steigung sehr schnell heraus. Jetzt braucht man nur noch den Y Schnittpunkt, also das n, dass manchmal auch b genannt wird.
Auch hier muss man jetzt zwingend etwas wissen:
Nehmen wir an, wir haben m=1/3 bestimmt. Dann lautet unsere lineare Funktion bis jetzt: y=1/3x+n
n wollen wir raus kriegen. Damit wir die Gleichung auch nach n auflösen können, müssen wir unbedingt für x und y etwas einsetzen. Und wir haben ja die beiden Punkte A und B und jeder dieser beiden Punkte hat einen X Wert und einen Y Wert. Jetzt kannst du dir aussuchen, welchen dieser beiden Punkte du in die Gleichung einsetzen willst. Und das ist immer etwas, was einem ein wenig Unbehagen macht, in der Mathematik in der Schule. Etwas selber wählen dürfen, das kommt selten vor. Aber hier! Hier darfst du das. Hier musst du das sogar! Sonst kommst du nicht weiter.

Lineare Funktion: Empfehlungen aus der Nachhilfe zum Zeichnen

um genau diese eben erwähnte Unsicherheit weg zu üben empfehle ich ein bis zweimal beide Punkte einzusetzen um dann mit Staunen festzustellen, dass tatsächlich derselbe Wert für n herauskommt.
Machen wir das auch an dieser Stelle hier einmal vor:
2=1/3 *(-1)+n
3=1/3*2+n
in beiden Fällen ist das Ergebnis n=2 1/3
Alternativer Weg: lineare Funktion aus zwei Punkten grafisch
zeichne dir ein Koordinatensystem und zeichnete in dieses Koordinatensystem die beiden Punkte A und B.
Verbindet die beiden Punkte und sie die gerade von einem Rand des Koordinatensystems zum anderen. Zähle jetzt die Einheiten ab, die du in Y Richtung brauchst, um von Punkt A zu Punkt B zu kommen und keine diese Anzahl an Einheiten durch die Anzahl der Einheiten, die du brauchst um von Punkt A zu Punkt B in X Richtung zu kommen. Das ist das, was die Formel für m macht, nur das nicht gezählt, sondern gerechnet wird.


Abstand lineare Funktion zu anderer Gerade

Eine parallele Gerade (lineare Funktion) zu einer bekannten linearen Funktionsgleichung zu bestimmen geht in Worten so: allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion aufschreiben und den Steigungskoeffizienten (die Zahl vor dem x) übernehmen. Wenn diese Gerade dann auch noch durch einen bestimmten Punkt verlaufen soll, dann so wie in diesem Video:
Aus dem Video Parallele Gerade bestimmen
Parallele zu einer gegebenen Gerade bestimmen, die durch einen Punkt P verläuft.
Um eine parallele Gerade zu einer vorgegebenen Gerade zu bestimmen ist es sinnvoll, sich vorab unter Verwendung einer Skizze zu verdeutlichen, dass es unendlich viele Parallelen zu einer vorhandenen Gerade gibt und dafür lediglich der Parameter b, genannt y-Achsenabschnitt, der allgemeinen Geradengleichung y=mx + b angepasst werden muss. Wichtig ist es zudem zu wissen, dass die Steigung (m) der gesuchten und parallelen Gerade logischerweise immer identisch ist bzw. unverändert bleibt.

Soll die gesuchte Gerade zusätzlich zum parallelen Verlauf ebenfalls durch einen festgelegten Punkt verlaufen, zum Beispiel P(2|3), so werden die x- und y-Koordinaten des Punktes lediglich in die Geradengleichung eingefügt (x=2, y=3). In diesem Fall entsteht die Gleichung 3=2m + b. Es ist bekannt, dass es sich um eine Parallele handelt und das hat selbstverständlich zur Folge, dass, wie bereits erwähnt, die Steigung m (der gesuchten Gerade) der Steigung der gegebenen Gerade entspricht. Demzufolge kann b auf leichtem Weg bestimmt werden, indem 2m addiert respektive subtrahiert wird und b = 3 – 2m entsteht. Nach dem Einsetzen der bekannten Steigung m in die Gleichung ist der Parameter b der parallelen Gerade, bestimmt und die Geradengleichung kann vervollständigt und die Aufgabenstellung gelöst werden. Zur Veranschaulichung ist es sinnvoll, die beiden Geraden nachfolgend in ein Koordinatensystem zu zeichnen, inklusive des vorgegebenen Punktes P.

Dazu interessant dürfte sein: Senkrechte Gerade 

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



Die besten Videos in Lineare Funktion:


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