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Die logarithmische Integration oder das logarithmische integrieren Funktion mit dann, wenn im Zähler der Integrandenfunktion die Ableitung des Nenner steht. In diesem Fall können wir das mit Integration durch Substitution bestätigen.

Beispiel logarithmische Integration:

Gegeben ist die Funktion: f(x)=2x/(x²+2)

zu dieser Funktion ist jetzt die Stammfunktion gesucht.

Als erstes muss man bei einem solchen Bruch oder einer solchen gebrochen rationalen Funktion schauen, ob im Zähler tatsächlich die Ableitung des Nenner steht.

Also leiten wir den Nenner ab. Die Ableitung des Nenners ist: 2x und damit exakt das, was im Zähler steht.

Jetzt greift die Formel:

jetzt verändern wir die Funktion des Beispiels:

f(x)=4x/(x²+2)

jetzt steht ja im Zähler nicht mehr die Ableitung des Nenners, also können wir eigentlich die logarithmische Integration nicht anwenden.

Aber wir können die Funktion umschreiben. Wir wissen ja schließlich, dass die Ableitung des Nenners 2X ist. Und wir können auch sehen, dass man aus 4X leicht 2*2x machen kann und also kann man die Funktion auch folgendermaßen schreiben:

f(x)=2* 2x/(x²+2)

jetzt ist die 2 vor dem Bruch gezogen und gilt quasi als Vorfaktor, und wir können die Faktorregel und die logarithmische Integration anwenden.

Also lautet die Stammfunktion:

F(x)=2* ln(x²+2)+C

Logarithmische Integration als Sonderfall der Integration durch Substitution

Wenn man sich an die Formel der logarithmischen Integration nicht mehr erinnern kann, bliebe einem in so einem Fall die Substitutionsmethode als möglicher Weg, die Stammfunktion zu bestimmen.

Hier würden wir jetzt folgendermaßen vorgehen:

Substitution: z=x²

Ableitung dieser Zeile: dz=2xdx

Umformung nach dx: dx=dz/2x

nachdem wir jetzt das, was wir substituieren wollen in das unbestimmte integral eingesetzt haben ergibt sich folgender Ausdruck:

Bild: Int (2x/(z+2) dz/2x

hier kann man jetzt den Ausdruck 2x kürzen und es ergibt sich:

Bild: Int(1/z+2)dz

die Stammfunktion dieses unbestimmten Integrals lautet:

ln(z+2)+C

Resubstitution: z=x²

F(x)=ln(x²+2)+C

und damit stimmen die beiden Ergebnisse, ob mit der Formel für die logarithmische Integration oder mittels des Verfahrens der Substitution überein.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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