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Die Mitternachtsformel wird auch ABC-Formel genannt und man nutzt sie zur Berechnung von Nullstellen von quadratischen Funktionen, die in der allgemeinen Form f(x)=ax²+bx+c gegeben sind, wie dieses Video zeigt.

ABC Formel oder Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel oder auch ABC-Formel wurde von Eric gewünscht. Das ist sinnvoll, weil wir bisher immer die PQ-Formel hatten und die Mitternachtsformel ist im Prinzip das Selbe. Nur müssen wir bei einer quadratischen Gleichung wie 0= 2x² + 4x -6 nicht erst durch die 2 teilen, um das P und das Q zu erhalten, sondern wir haben einfach a (2), b (4) und c (- 6) und in der Formel haben wir b, a, und c und können das direkt einsetzen.

Die Mitternachtsformel oder ABC-Formel zum lösen von quadratischen Gleichungen


Das heißt, wir brauchen nicht vorher zu denken, sondern immer wenn wir eine quadratische Gleichung haben, haben wir auch a, b und c und können diese einsetzen. Bedingung ist natürlich immer, dass a nicht 0 sein darf.

Dann könnte man aber auch die PQ-Formel nicht anwenden. Nun wollen wir unsere Zahlen einsetzen: a (2), b (4) und c (- 6) setzen wir in unsere obere Formel wie folgt ein: x1,2= - b ist -4. plus/minus Wurzel aus 4 zum Quadrat ist gleich 16 - 4 * 2 * (-6). Das Ganze wird geteilt durch 2*2, das ergibt also 4.

Danach rechnen wir 4 * 2 * (-6) aus, das ergibt – 48. Unsere Rechnung lautet dann also 16 - (-48) und ergibt 64. Wurzel aus 64 ist 8. Also ist x1= - 4 + 8= 4. Die 4 geteilt durch 4 ergibt x1=1. Danach rechnen wir x2= -4 -8 = -12. Und -12 geteilt durch 4 ergibt x2 = -3.

Es ist besonders wichtig, dass Ihr immer auf die Vorzeichen oder andere kleine Flüchtigkeitsfehler achtet. Wenn Euch solche Fehler in unseren Videos auffallen, oder Ihr findet, dass manches nicht ideal erklärt wurde, dann bitten wir Euch, dass Ihr uns per Kommentar oder eine Email Bescheid gebt.

Nullstellen ganzrationaler Funktionen alle Verfahren

Übersicht Verfahren zur Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel hat gegenüber der pq-Formel den Vorteil, dass jede quadratische Gleichung direkt mit ihr bearbeitet werden kann. Als Nachteil könnte man ansehen, dass man mit drei Werten rechnen muss und das der Term bei der Mitternachtsformel ein bisschen komplizierter ist. Mit den beiden Formeln ist es ein bisschen wie mit dem Pflaumenkuchen: Kriegt man ihn und mag man ihn, ist es gut und kriegt man ihn nicht und mag ihn auch nicht, ist es auch gut ;) Ausgerechnet!

  • ABC-Formel
  • Zur Herleitung der Mitternachtsformel/ABC-Formel
  • Herleitung Mitternachtsformel
  • Anwendungsmöglichkeit der ABC-Formel:
  •     Beim schrägen Wurf

Weiterführende Fragen zur Mitternachtsformel

    Kann ich bei folgender Gleichung auch die Mitternachtsformel anwenden?

Nicht quadratische Gleichung


    Muss ich vorher die ^3 irgendwie wegmachen^^?

    Antwort:

  Diese Gleichung ist keine quadratische Gleichung und deshalb kannst Du die Formel hier nicht anwenden. Schau mal in diesen Beitrag rein. Und dann ist es die Polynomdivision, die Dich weiterbringt (geratene Nullstelle x=2)

Beispiele zur Lösung von quadratischen Gleichungen mit der Mitternachtsformel

Folgende quadratische Funktion:

Quadratische Gleichung, die man mit der ABC-Formel Lösungsformel lösen kann wenn die Diskriminante nicht negativ ist

soll gleich Null gesetzt werden und die Lösung der quadratischen Gleichung bestimmt werden. Es sollte die Lösung:

x1=-1+Wurzel 3 und X2=-1-Wurzel 3 rauskommen. Mit der Pq-Formel funktioniert das. Mit Mitternachtsformel aber kommt -1+-Wurzel 12 raus. Kannst du mir das erklären?

Antwort:
Ich zeige Dir am besten, wie man diese Gleichung mit unserer Formel löst. Zunächst nehmen wir aus der quadratischen Gleichung die Parameter heraus:

Werte zum Einsetzen aus quadratische Gleichung in die ABC-Formel

So kommst Du bei Deiner quadratischen Gleichung auf die richtige Lösung mit der Mitternachtsformel:



Beispiel Lösung quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel bzw. ABC-Formel

Man kann hier sehen, dass das Vereinfachen der Lösung aufwendig sein kann. Hier wird das Auflösen von Bruchtermen und das partielle Wurzel ziehen. Sollte bei Deiner nächsten Klassenarbeit zum Thema quadratische Gleichungen also der Taschenrechner nicht erlaubt sein, dann solltest Du Dir diese Teilgebiete noch einmal ansehen.
Wichtig ist noch, anzumerken, dass man an der Diskriminante, also dem Term, der unter der Wurzel steht, erkennen kann, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat:

  • Ist die Diskriminante negativ: die quadratische Gleichung hat keine Lösung (in den reellen Zahlen)
  • Ist die Diskriminante gleich Null: die quadratische Gleichung hat eine Lösung
  • Ist die Diskriminante positiv, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind gleich bedeutend mit den Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion.

Hat der Graph der quadratischen Funktion Schnittpunkte mit der X-Achse? Welche Bedingung muss dann erfüllt sein? Berechnen Sie mögliche Schnittpunkte mit der X-Achse. f(x)=1/4x²-1/2x²-3/4

Loesungen einer quadratischen Gleichung Diskriminante positiv

Die Bedingung, die erfüllt sein muss, ist, dass der Term unter der Wurzel nicht negativ ist. Mit der Mitternachtsformel, ABC-Formel, bekomme ich x1=3 und x2=-1 raus... also keine negative Diskriminante (der Term unter der Wurzel)

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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