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Was ist die mittlere Änderungsrate?

Die mittlere Änderungsrate bezeichnet die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion. Manchmal wird sie auch als mittlere Abnahmerate oder Durchschnittssteigung oder Sekantensteigung genannt, aber sieh selbst:

Dieses Video steht im Zusammenhang mit den Videos zum Differenzialquotienten mit dem man die momentane Änderungsrate, also die Steigung in einem Punkt berechnen kann.

Die mittlere Änderungsrate ist ein beliebtes Thema in der Schule. Diese wird auch als Sekantensteigung, Durchschnittssteigung oder durchschnittliche Änderungsrate bezeichnet. Es ist meist ein Intervall gegeben das durch zwei Zahlen wie hier beispielsweise 3 bis 10 begrenzt ist.

In einer Zeichnung sehen dann mittlere Änderungsraten so aus:

Mittlere Änderungsrate als Grafik


Des Weiteren ist eine Funktion f(x) gegeben.

Eine Änderungsrate ist immer eine Steigung.

Da die mittlere Änderungsrate auch als durchschnittliche Änderungsrate bezeichnet werden kann, ist sie also auch die lineare Funktion durch die zwei Grenzen des Intervalls. Die Grenzen werden zunächst in die Funktion eingesetzt, also f(3) und f(10) berechnet.

Die Ergebnisse entsprechen dann dem jeweiligen y-Wert. Dadurch bekommt man eine lineare Funktion aus den zwei Punkten P1 und P2.

Die mittlere Änderungsrate lässt sich nun durch folgende Vorgehensweise ermitteln: Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Wert. Hierbei spielt es keine Rolle ob P1 von P2 abgezogen wird oder umgekehrt. Der errechnete Wert ist nun die durchschnittliche Änderungsrate in dem vorgegebenen Intervall.

Momentane Änderungsrate

Die momentane Änderungsrate ist die Ableitung f`(x) der gegebenen Funktion. Wird die momentane Änderungsrate an einer bestimmten Stelle benötigt, muss diese, hier beispielsweise x=3 in die erste Ableitung eingesetzt werden.

Das Ergebnis von f`(3) ist dann die Tangentensteigung. Eine Tangente berührt die Funktion immer in einem Punkt. Die Tangente gibt die Steigung in dem gewählten Punkt an.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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