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Die Definition einer Normalen

Eine Normale ist eine Gerade, die den Grafen einer Funktion in einem bestimmten Punkt senkrecht schneidet, man kann auch sagen senkrecht zum Graphen einer gegebenen Funktion verläuft.

Die Formel für die Normale lautet:

n(x)=f(x0)-1/f'(xo)*(x-x0)

wie man auf diese Formel für die Normale an eine Funktion kommt, siehst du im Video zur Herleitung und weiter unten im Text.

Elemente der Formel für die Normale:

- f(x0) steht in der Gleichung für den Y Wert des Punktes, indem die Normale die Funktion schneidet.

- -1/f'(x0) das ist der negative Kehrwert (negativer Reziprokwert) der Steigung der Funktion in dem Punkt, den Schnittpunkt.

- x0 ist der X Wert des gemeinsamen Punktes von Normale und Funktion

Aufgabenstellung Normale

Lange Version zur Bestimmung der Normalengleichung

Wer die Formel für die Normalengleichung nicht anwenden darf, der muss wohl oder übel mit diesem Verfahren vorlieb nehmen.

Gegeben ist eine Funktionsgleichung und die Aufgabenstellung lautet: bilden Sie die Normale an die Funktion an der Stelle x0=2.

es muss also eine Funktion gegeben sein und ein X Wert. 

Als ersten Schritt empfehle ich, die Ableitung der Funktion zu bilden, wenn die brauchen wir in jedem Fall. Wenn man das getan hat, bestimmt man den Wert der Steigung der Funktion an der gegebenen Stelle. Das bedeutet nichts anderes, als dass man den X Wert, der einem gegeben ist, in die Ableitung einsetzt und ausrechnet.

Was auch ausgerechnet werden muss, ist der Funktionswert an der Stelle, die gegeben ist. Das ist der Y Wert und damit haben wir dann auch den Punkt, indem die Normale die Funktion schneidet.

Da die Normale eine lineare Funktion ist gilt für Ihre Funktionsgleichung auch:

y=n(x)=mx+b

berechnet werden sollen jetzt m und b.

Die Normale Säuger jetzt senkrecht auf der Funktion stehen. Und das bedeutet auch, dass sie senkrecht auf der Tangenten zu dieser Funktion in diesem Punkt ist.

Deshalb muss man sich an dieser Stelle an die Vokabel erinnern: stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so ist die Steigung der einen Geraden der negative Kehrwert der anderen Geraden. Also nehmen wir für die Steigung der Normalen dem negativen Kehrwert des Wertes der Ableitung an dieser Stelle.

Diesen Wert können wir dann auch schon in die allgemeine Gleichung der Normalen einsetzen.

Um jetzt den Wert für b zu berechnen, setzt man dann den Punkt und die Steigung in die allgemeine Form ein und löst das ganze nach b auf.

Fertig ist die Funktionsgleichung der Normalen.

Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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