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Normalenvektor berechnen

Den Normalenvektor kann man auf verschiedenen Wegen berechnen, entweder über ein Gleichungssystem oder über das Kreuzprodukt, das auch Vektorprodukt genannt wird.

Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf etwas steht. In der Vektorrechnung der Mathematik in der Schule kennt man den Normalenvektor hauptsächlich als einen Vektor, der senkrecht zu der Fläche einer Ebene steht.

Berechnung eines Normalenvektor einer Ebene

  • Lösung über ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten
  • Lösung über das Vektorprodukt

Wie man mit einem Gleichungssystem einen Vektor berechnet, der senkrecht auf zwei Spannvektoren einer Ebene steht

der Normalenvektor soll senkrecht auf jedem der beiden Spannvektoren der Ebene in Parameterform stehen. Dazu braucht man die Vokabel: steht ein Vektor senkrecht auf einem anderen Vektor, so ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null.

Wie man eine Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt) berechnet

mit dem Vektorprodukt errechnet man direkt einen Vektor, der die Kriterien eines Normalenvektors einer Ebene erfüllt.


Dieses Verfahren wird unter anderem besonders häufig eingesetzt bei der Umwandlung von Punktrichtungsgleichung in Koordinatenform.


Fragen zum Normalenvektor

Frage: Kann ich den Normalenvektor nicht direkt aus der Koordinatenform

Antwort: Ja, das kannst Du, aber dafür muss die Koordinatenform erst mal gegeben sein. In diesem Fall ist es aber die Parameterform, die man auch Punktrichtungsform nennt und da kann man den Normalenvektor nur mit besonderer Begabung ablesen, also eigentlich kann man den daraus nicht ablesen.

Frage: Wenn man z.B. den Normalenvektor einer Ebene in Parameterform bestimmen will, woher weiß man dann, welchen Richtungsvektor man gegen welchen kreuzen muss? Den ersten gegen den zweiten oder den zweiten gegen den ersten? Hatte jetzt verschiedene Aufgaben, bei denen ich mal mit der ersten, mal mit der zweiten Möglichkeit zu einer richtigen Lösung kam.

Antwort: Es ist wurscht, ob Du uxv oder vxu rechnest.

Frage: Bei einer Aufgabe führten beide Möglichkeiten zu einem falschen Ergebnis. Gegeben sind die Richtungsvektoren einer Ebene u=(6|3|-6) und v=(6|-3|0), aus denen der Normalenvektor bestimmt werden soll. Das Kreuzprodukt ergibt für (u)x(v) den Normalenvektor n=(-18|-36|-36) und für (v)x(u) den Normalenvektor n=(18|-36|0).

Abgesehen davon, dass man nun zwei unterschiedliche Normalenvektoren hat, lautet die richtige Lösung eigentlich n=(1|2|2)!

Diese Lösung erhält man, wenn man ein LGS aufstellt mit

I) 6x+3y-6z = 0 II) 6x-3y = 0

Setzt man y=2, erhält man in II sehr schnell x=1.

X und y eingesetzt in I ergibt z=2, womit man also auf den oben genannten Vektor (1|2|2) kommt.

Nun sieht man ja auch, dass der Normalenvektor von (u)x(v)=(-18|-36|-36) geteilt durch -18 ebenfalls (1|2|2) ergibt.

Wie passt das alles zusammen? :(

Bin grad ziemlich verwirrt darüber, wie und wann man das Kreuzprodukt nun sicher anwenden kann.

Ich hoffe, ich habs einigermaßen verständlich erklärt und dass du mir helfen kannst :)

Antwort: Da müsstest Du noch mal nach den Vorzeichen schauen... Hab grad mal beide gerechnet und komme auf uxv=(-18/-36/-36) und vxu=(18/36/36)

Das ist aber ein und derselbe Vektor, denn ich kann, den einen mal -1 rechnen und dann kommt der andere raus.

Wenn ich (18/36/36)*1/18 rechne, komme ich auch auf die vorgegebene Lösung (1/2/2)

Frage: Ich habe die Ebenengleichung mit den Richtungsvektoren (3|2|-1) und (0|8|-4). Habe den Normalenvektor mithilfe des Kreuzproduktes ausrechnen wollen und mich Schritt für Schritt an deine Anweisungen gehalten. Bei mir kam dann der Normalenvektor n=(0|12|24) heraus.wenn man den jetzt mit -(1/2) multipliziert kommt natürlich ein Normalenvektor mit den Parametern (0|-6|-12) dabei heraus.in der Lösung der aufgabe ist der Normalenvektor aber leider (0|1|2).die haben leider nicht dazugeschrieben wie die den Normalenvektor ausgerechnet haben. Was habe ich falsch gemacht? Und warum muss man nach dem Kreuzprodukt den Vektor mit -1/2 multiplizieren?

Antwort: Keine Panik - Du hast alles richtig gemacht.

Den Normalenvektor MUSS man mit gar nichts multiplizieren, aber man kann ihn mit jeder Zahl multiplizieren, um ihn so einfach, bzw. um ihn mit so kleinen Zahlen wie möglich auszudrücken.

(0|12|24) würde ich jetzt spontan mal mit 1/12 multiplizieren und heraus käme: (0/1/2) also genau das, was auch in der Lösung steht!

Frage: Was hast du da jetzt genau berechnet ? Den Normalen rechtwinkligen Vektor?

Antwort: Ja, genau. den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Ebene steht. ;)

Frage: Ich habe eine Aufgabe, in der ist die Ebene in der form 2x+3y-4z-5=0 gegeben (Koordinatenform, wenn ich mich nicht irre?) Man soll den Normalvektor bestimmen und ihn normieren, aber ist dazu nicht viel zu wenig gegeben?

Linkantwort: Dazu hab ich einen Link für Dich, wie die Koordinatenform in die Normalenform umgewandelt werden kann.

Frage: Den normalen Vektor aufstellen ist kein Problem (dank Video). Nur, wie bekomme ich einen Normalenvektor durch einen ganz bestimmten Punkt?

Antwort: Ein Vektor ist ja erst mal nur eine Klasse von Pfeilen, die die selbe Länge und Orientierung haben. Nehmen wir mal an, Du hast den Normalenvektor (1/2/3) und der soll am Punkt P(4/4/4) losgehen. Dann brauchst Du eine Gerade mit einem Ortsvektor und einem Richtungsvektor: g:x=(4/4/4)+r(1/2/3) Ansonsten hast Du keine Chance, den Vektor durch diesen Punkt gehen zu lassen...

Frage: Du hast am Anfang nur mit dieser kürzeren Gleichung gerechnet... wie macht man das mit dieser dreier Gleichung im Video in 2:27 min zu sehen.. wie macht man das dann?

Antwort: Bei 3:31 wird dann n_x aus der ersten Gleichung (der Kurzen mit nur 2 Summanden auf der linken Seite) in die dritte Gleichung eingesetzt. Also wird ab da mit der dreier Gleichung weitergerechnet...

Frage: Bezüglich des Normalenvektors: Wenn ich eine Gerade im dreidimensionalen Raum habe, besitze ich ja keine zwei Richtungsvektoren mit denen ich das Kreuzprodukt bilden kann. Nehme ich dann lediglich den einen Richtungsvektor im Skalarprodukt mit drei Unbekannten und darf mir dann bis zu zwei Variablen frei "ausdenken"? Da ich ja nur ein 1x3 LGS besitze sind meine Möglichkeiten des Einsetzens ja eher begrenzt.

Antwort: Da gibt es eine Spezialform, die Plückerform... allerdings habe ich bisher eigentlich noch nie eine konkrete Aufgabe gesehen, wo die hilfreich gewesen ist... oder wo man nach der Normalenform einer 3D Vektorgeraden gefragt worden ist...

Frage: Wenn ich das Kreuzprodukt anwende, komme ich auf ein anderes Ergebnis als uns unser Lehrer gesagt hat.

E:x = (0|1|0)+m(7|1|2)+n(-2|1|4) Normalenvektor = (2|32|-23)

Nach dem Kreuzprodukt komme ich auf den Normalenvektor = (2|32|9) Mein Fehler ?

Antwort: Ich komme auf (2/-32/9)... Meine Rechnung für die jeweiligen Koordinaten:

x: 14-21=2 y: 2(-2)-74=-32 z: 71-1(-2)=9

Frage: Ich bin gerade etwas verwirrt. In diesem Video erklärst du, dass man den Normalenvektor mithilfe des Skalarpruduktes bildet. In diesem Video (etwa bei 1:00 bis 1:15) wird der Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren gebildetet. Sind nun beide Ansätze möglich oder tick ich da was nicht ganz?

Antwort: Das Video ganz zu Ende schauen - beide Methoden funktionieren.


Olaf Hinrichsen (Autor) bei Google.



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